رياضيات حجرة ورقة مقص: الاحتمالات وتوازن ناش

في مباراة حجرة ورقة مقص بين لاعبين ضد خصم عشوائي، تفوز في 1/3 من المرات، وتخسر في 1/3، وتتعادل في 1/3، فنتيجتك المتوقعة صفر بالضبط. والاستراتيجية التي لا يمكن هزيمتها على المدى الطويل هي رمي الحجرة والورقة والمقص باحتمال 1/3 لكل منها؛ وهذا الخليط هو توازن ناش في اللعبة.

هذا هو الجواب كله في جملتين. يعرض باقي هذه الصفحة طريقة الحساب، ويوسّعها لتشمل مجموعات من ثلاثة لاعبين أو أكثر، وينتهي بخطة درس صفية، لأن هذه من أفضل الألعاب على الإطلاق لتعليم الاحتمالات.

جدول المكاسب

احسب الفوز +1، والخسارة -1، والتعادل 0. من وجهة نظرك (الصفوف رميتك، والأعمدة رمية خصمك):

أنت / الخصم	الحجرة	الورقة	المقص
الحجرة	0	-1	+1
الورقة	+1	0	-1
المقص	-1	+1	0

كل صف وكل عمود يحتوي على +1 واحد، و-1 واحد، و0 واحد. هذا التماثل مصدر كل ما يلي. وهو أيضًا يجعل اللعبة صفرية المجموع: ما تكسبه أنت يخسره خصمك.

احتمال كل نتيجة

هناك 3 x 3 = 9 أزواج من الرميات متساوية الاحتمال إذا اختار اللاعبان عشوائيًا. ثلاثة منها تعادلات (حجرة-حجرة، ورقة-ورقة، مقص-مقص)، وثلاثة انتصارات لك، وثلاث هزائم.

P(فوز) = 3/9 = 1/3
P(تعادل) = 3/9 = 1/3
P(خسارة) = 3/9 = 1/3

وإذا تجاهلنا التعادلات، فأنت تفوز بنصف الجولات المحسومة بالضبط.

القيمة المتوقعة

القيمة المتوقعة للرمية هي مجموع كل مكسب مضروبًا في احتماله. لنفترض أن خصمك يرمي الحجرة باحتمال r، والورقة باحتمال p، والمقص باحتمال s، حيث r + p + s = 1. بالقراءة عبر جدول المكاسب:

EV(الحجرة) = 0·r - 1·p + 1·s = s - p
EV(الورقة) = 1·r + 0·p - 1·s = r - s
EV(المقص) = -1·r + 1·p + 0·s = p - r

إذا لعب خصمك r = p = s = 1/3، فكلها صفر. لا شيء تفعله يفيدك أو يضرك.

وإذا مال إلى الحجرة، مثلًا r = 0.40 وp = 0.35 وs = 0.25، فإن EV(الورقة) = 0.40 - 0.25 = +0.15 لكل رمية. وعلى مدى 100 رمية، هذا 15 نقطة متوقعة. ولهذا بالضبط تهم العادات في الواقع؛ تُظهر بياناتنا عن تكرار الرميات أن الناس يميلون فعلًا إلى الحجرة.

لماذا يكون الثلث لكل رمية هو توازن ناش

توازن ناش زوج من الاستراتيجيات لا يستطيع فيه أي لاعب أن يتحسن بتغيير استراتيجيته وحده.

انظر إلى معادلات القيمة المتوقعة مجددًا. إذا رمى خصمك أي خيار في أكثر من 1/3 من المرات، فإن رمية واحدة على الأقل من رمياتك لها قيمة متوقعة موجبة، وعليك أن تميل نحوها. الخليط الوحيد لدى الخصم الذي لا يترك لك أي رد مربح هو r = p = s = 1/3. وبالتماثل، ينطبق الشيء نفسه عليه. فالتوازن الوحيد هو أن يوزع اللاعبان رمياتهما عشوائيًا بالتساوي، وقيمة اللعبة 0.

نتيجتان تفاجئان الناس:

التوازن لا يفوز. إنه يضمن أن تخرج متعادلًا ضد أي أحد. إنه دفاع لا هجوم.
هزيمة شخص حقيقي تتطلب مغادرة التوازن. لا تربح إلا باستغلال انحيازه، وهذا يعرّضك بدورك للاستغلال. تتعمق صفحة نظرية الألعاب في هذه المقايضة.

كم يستغرق حتى يفوز أحد؟

كل جولة بين لاعبين تُحسم باحتمال 2/3. وعدد الجولات حتى الحسم يتبع توزيعًا هندسيًا، فالعدد المتوقع للجولات هو 1 / (2/3) = 1.5. واحتمال ثلاثة تعادلات متتالية هو (1/3)^3، أي نحو 3.7%.

التعادلات مع أكثر من لاعبين

مع n لاعبين يرمون جميعًا عشوائيًا، لا تُحسم الجولة إلا إذا ظهرت رميتان بالضبط من الثلاث. إذا ظهرت الثلاث كلها، أو رمى الجميع الشيء نفسه، فلا فائز. ولأي زوج معين من الرميات، عدد النتائج التي تستخدمهما معًا ولا شيء غيرهما هو 2^n - 2. وهناك 3 طرق لاختيار الزوج، و3^n نتيجة إجمالًا. إذن:

P(حسم) = 3(2^n - 2) / 3^n، وP(تعادل) = 1 - 3(2^n - 2) / 3^n

اللاعبون (n)	P(تعادل)
2	3/9 ≈ 33.3%
3	9/27 ≈ 33.3%
4	39/81 ≈ 48.1%
5	153/243 ≈ 63.0%
6	543/729 ≈ 74.5%
10	نحو 94.8%

ولهذا نادرًا ما تحصل مجموعة كبيرة تحاول الرمي معًا على نتيجة. للمجموعات الأكبر من ثلاثة، نظّموا جدول مواجهات ثنائية بدلًا من ذلك. وأداة تنظيم الفعاليات المجانية تفعل ذلك بالضبط.

تعليم الاحتمالات بحجرة ورقة مقص

أحب هذا الدرس لأن الطلاب يعرفون اللعبة أصلًا ولهم آراء فيها، مما يمنحك توقعًا يمكن اختباره.

توقّعوا. اسأل الفصل أي رمية تفوز أكثر. سجّل التصويت.
عدّدوا. في أزواج، اكتبوا النتائج التسع كلها وصنّفوا كلًّا منها فوزًا أو خسارة أو تعادلًا. استنتجوا أرقام الثلث.
اجمعوا البيانات. يلعب كل زوج 30 جولة ويسجّل الرميات والنتائج. اجمعوا بيانات الفصل على السبورة.
قارنوا. هل نسبة الفوز المرصودة قريبة من 1/3؟ هل تُرمى الحجرة أكثر من اللازم؟ ناقشوا التباين في العينات مقابل الانحياز الحقيقي.
وسّعوا. يمكن للطلاب الأكبر سنًا حساب القيمة المتوقعة مقابل تكرارات الرمي الفعلية في الفصل، وإيجاد أفضل رمية مضادة.
المجموعات. اجعلوا مجموعات من 3 و4 و5 يرمون معًا، وعدّوا كم مرة تُحسم الجولة، ثم قارنوا بالجدول أعلاه.

يغطي النشاط فضاءات العينة، والنتائج متساوية الاحتمال، والتكرار النسبي، والقيمة المتوقعة، وللفصول المتقدمة فكرة التوازن. وصفحة القواعد ورقة توزيع مفيدة إن احتاج أحد إلى تذكير.

الأسئلة الشائعة

ما فرص الفوز في حجرة ورقة مقص؟

ضد خصم عشوائي: 1/3 فوز، و1/3 تعادل، و1/3 خسارة. ومع استبعاد التعادلات، 50%.

هل توجد حركة هي الأفضل رياضيًا؟

لا توجد حركة واحدة. أفضل استراتيجية دفاعية هي خليط عشوائي بالثلث لكل رمية، ولا يمكن أن يخسر في المتوسط المتوقع.

ما فرص التعادل مع ثلاثة لاعبين؟

1/3 بالضبط، كما مع لاعبين. ومن أربعة لاعبين فصاعدًا، يصبح التعادل بسرعة أرجح من عدمه.

هل حجرة ورقة مقص حظ خالص؟

بين مولّدَين عشوائيَّين مثاليين، نعم. وبين البشر، لا، لأن للناس عادات متوقعة تتيح لك الرياضيات استغلالها.