ركلات الجزاء وحجرة ورقة مقص: الاستراتيجية المختلطة في الواقع

ركلة الجزاء في كرة القدم نسخة واقعية من حجرة ورقة مقص: يختار المسدِّد وحارس المرمى الجهة في اللحظة نفسها تقريبًا، وأي نمط متوقع يمكن استغلاله، فأفضل استراتيجية لكليهما هي العشوائية. وقد اختبر الاقتصاديون هذا على آلاف ركلات الجزاء الاحترافية، ووجدوا أن اللاعبين يتصرفون بشكل قريب جدًا مما تتوقعه نظرية الألعاب للاستراتيجية المختلطة.

لماذا للعبتين البنية نفسها

في حجرة ورقة مقص، لا يستطيع أي لاعب أن يتفاعل مع رمية الآخر، ولكل اختيار ثابت اختيار مضاد. التوازن هو أن تخلط رمياتك بشكل غير متوقع، ثلث لكل منها. يمكنك قراءة الاشتقاق الكامل في رياضيات حجرة ورقة مقص.

ركلة الجزاء مشابهة. تصل الكرة إلى المرمى أسرع من أن ينتظر الحارس ويتفاعل، فعليه أن يلتزم بجهة تقريبًا لحظة التسديد. لو سدد المسدِّد دائمًا إلى اليسار، لقفز الحراس دائمًا إلى اليسار. ولو قفز الحارس دائمًا إلى اليمين، لسدد المسددون دائمًا إلى اليسار. لا تصمد أي استراتيجية ثابتة، فيخلط الطرفان.

الفرق الرئيسي أن ركلات الجزاء غير متماثلة. معظم المسددين أدق نحو جهتهم "الطبيعية" (لمن يسدد بقدمه اليمنى، هي عادةً يمين الحارس)، والوسط خيار ثالث محفوف بالمخاطر إن بقي الحارس مكانه. لذا فالتوازن ليس تقسيمًا متساويًا. تتوقع النظرية شيئًا أدق: على كل لاعب أن يخلط بحيث يصبح الآخر غير مبالٍ، أي أن نسبة تسجيل المسدِّد يجب أن تكون متساوية أيًّا كانت جهة تسديده، ونسبة تصدي الحارس متساوية أيًّا كانت جهة قفزه.

ماذا وجدت الأبحاث

Chiappori وLevitt وGroseclose (2002). نشر Pierre-André Chiappori وSteven Levitt وTimothy Groseclose بحث "Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer" (اختبار توازنات الاستراتيجية المختلطة حين يختلف اللاعبون: حالة ركلات الجزاء في كرة القدم) في American Economic Review (المجلد 92، العدد 4). باستخدام ركلات جزاء من مباريات الدوريات الأوروبية الكبرى، بنوا نموذجًا يسمح باختلاف المسددين والحراس في المهارة، واختبروا توقعاته. وجاءت البيانات متسقة بشكل عام مع لاعبين يعتمدون العشوائية كما تتوقع النظرية، بما في ذلك بعض التوقعات غير البديهية، مثل عدد المرات التي ينبغي أن يسدد فيها المسددون نحو الوسط.

Palacios-Huerta (2003). حلّل بحث Ignacio Palacios-Huerta بعنوان "Professionals Play Minimax" (المحترفون يلعبون وفق الحد الأدنى من الحد الأقصى)، في Review of Economic Studies (المجلد 70)، عدد 1,417 ركلة جزاء من مباريات دوريات أوروبية احترافية. واختبر نتيجتين لنظرية الحد الأدنى من الحد الأقصى: أن تكون نسب التسجيل متساوية بين الاختيارات التي يتخذها كل لاعب، وأن تكون اختيارات كل لاعب مستقلة تسلسليًا، بلا نمط يمكن رصده من ركلة إلى أخرى. نجح المحترفون في الاختبارين، وهذا لافت، لأن المشاركين في التجارب المخبرية الذين يُطلب منهم أن يكونوا عشوائيين يفشلون عادةً.

ماذا يعني هذا لمبارياتك في حجرة ورقة مقص

الدرس من ركلات الجزاء ليس "كن عشوائيًا". إنه أدق من ذلك:

1. كن عشوائيًا فيما يستطيع خصمك ملاحظته. لم يكن المسددون المحترفون يتناوبون أو يكررون بطرق يمكن رصدها. أما لاعبو حجرة ورقة مقص الهواة فيفعلون ذلك دائمًا تقريبًا. تُظهر بياناتنا عن أنماط الرمي لاعبين يتفاعلون بقوة مع نتيجتهم الأخيرة.
2. الخيارات غير المتساوية تتطلب خلطًا غير متساوٍ. في النسخ التي لا تكون فيها الرميات متماثلة، كما في بعض النسخ، الخلط الصحيح هو الذي يترك خصمك غير مبالٍ، لا بالضرورة ثلثًا لكل رمية.
3. استغل، لكن بحذر. إن لاحظت نمطًا، فاعمل ضده. لكن في اللحظة التي تصبح فيها أنت متوقعًا، تكون قد أعدت الأفضلية إلى خصمك.

تشرح صفحة نظرية الألعاب الاستراتيجيات المختلطة بعمق أكبر، ويمكنك اختبار عشوائيتك أنت باللعب مجانًا على الإنترنت.

الأسئلة الشائعة

هل يعتمد مسددو ركلات الجزاء العشوائية فعلًا؟

تقول الأدلة من Chiappori وLevitt وGroseclose (2002) وPalacios-Huerta (2003) إن المحترفين يقتربون من خلط التوازن، بلا أنماط تسلسلية قابلة للاستغلال في المجمل.

لماذا تشبه ركلة الجزاء حجرة ورقة مقص؟

كلتاهما لعبة حركات متزامنة، لكل اختيار متوقع فيها اختيار مضاد، فالاستراتيجية المستقرة هي الخلط.

هل أفضل استراتيجية للجزاء أن تسدد نحو كل جهة في نصف المرات؟

لا. لأن المسددين أقوى نحو جهة معينة، يكون الخلط الأمثل غير متساوٍ. ما ينبغي أن يتساوى هو نسبة النجاح بين الاختيارات.