गेम थ्योरी और पत्थर कागज़ कैंची
मानक शून्य-योग पत्थर कागज़ कैंची खेल में हर शुद्ध रणनीति को किसी दूसरी रणनीति से हराया जा सकता है। इसका इकलौता नैश संतुलन है हर इशारे को स्वतंत्र रूप से 1/3 संभावना से चुनना। यह मिश्रण किसी भी प्रतिद्वंद्वी रणनीति के ख़िलाफ़ शून्य अपेक्षित लाभ देता है; यह छोटे मैच में बराबरी या ठीक बराबर वास्तविक रिकॉर्ड की गारंटी नहीं देता। बढ़त तभी संभव है जब प्रतिद्वंद्वी संतुलन से इस तरह हटे कि उसके बदलने से पहले उसका अनुमान लगाया और फ़ायदा उठाया जा सके।
नैश संतुलन, मिश्रित रणनीतियां, बेज़ी तर्क। वह गणित जो साबित करता है कि सबसे आसान खेल चुपचाप बहुत जटिल है।
RPS: किताबी उदाहरण (सचमुच)
पत्थर कागज़ कैंची एक सीमित, दो-खिलाड़ी, शून्य-योग, एक साथ चलने वाला खेल है। इसका छोटा भुगतान मैट्रिक्स शुद्ध रणनीतियों, मिश्रित रणनीतियों, सर्वोत्तम प्रतिक्रियाओं और संतुलन को मान्यताएं छिपाए बिना साफ़ दिखा देता है।
पेऑफ़ मैट्रिक्स (घबराइए मत)
हर RPS भिड़ंत को 3x3 की तालिका में लिखा जा सकता है। जीत पर +1, हार पर -1, बराबरी पर 0:
| पत्थर | कागज़ | कैंची | |
|---|---|---|---|
| पत्थर | 0 | -1 | +1 |
| कागज़ | +1 | 0 | -1 |
| कैंची | -1 | +1 | 0 |
यह एक सममित खेल है। दोनों खिलाड़ियों के पास एक ही विकल्प और एक ही नतीजे हैं। इसमें कोई शुद्ध-रणनीति नैश संतुलन नहीं है, जो यह कहने का भारी-भरकम तरीक़ा है कि अगर आपमें कोई पैटर्न है, तो कोई न कोई उसका फ़ायदा उठा लेगा।
नैश संतुलन: गणित के हिसाब से एकदम सही रणनीति, जिसमें कोई मज़ा नहीं
नैश का 1950 का अस्तित्व-परिणाम दिखाता है कि हर सीमित खेल में मिश्रित रणनीतियों का कम से कम एक संतुलन होता है। मानक RPS भुगतान मैट्रिक्स के लिए उदासीनता की शर्तें हल करने पर एक इकलौता मिश्रण मिलता है: पत्थर, कागज़ और कैंची को स्वतंत्र रूप से 1/3-1/3 संभावना से चुनें।
यह रणनीति किसी भी विरोधी मिश्रण के ख़िलाफ़ शून्य अपेक्षित लाभ की गारंटी देती है। फिर भी सीमित मैच में वास्तविक नतीजे बदलते हैं, कभी-कभी काफ़ी ज़्यादा। “जिसका फ़ायदा न उठाया जा सके” बताए गए भुगतान मॉडल के तहत अपेक्षित मान को दर्शाता है; इसका मतलब यह नहीं कि खिलाड़ी कभी हार नहीं सकता।
बार-बार खेलने के प्रयोगों में क्या मिला
इंसानी RPS के नतीजे प्रयोग की परिस्थितियों पर निर्भर करते हैं। अक्सर उद्धृत दो अध्ययनों ने अलग-अलग आबादी और प्रोटोकॉल मापे:
- Wang et al. (2014): 360 छात्रों ने रैंडम तरीक़े से जोड़े गए छह-छह लोगों के समूहों में पैसों के प्रोत्साहन वाले 300 राउंड खेले। आबादी स्तर पर चक्र को नतीजे पर निर्भर टिकने और घूमने की संभावनाओं वाले मॉडल से समझाया गया।
- Dyson et al. (2016): 31 स्नातक छात्रों ने बराबर-रैंडम कंप्यूटर के ख़िलाफ़ 225 राउंड खेले। हार और बराबरी के बाद चाल बदलना बढ़ा, पर जीत के बाद वही चाल रखना सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नहीं था।
ये अध्ययन प्रतिद्वंद्वी मॉडल के लिए संभावित विशेषताएं देते हैं, कोई सार्वभौमिक नुस्ख़ा नहीं। आबादी, प्रोटोकॉल और सीमाओं के लिए मनोविज्ञान समीक्षा देखें।
बेज़ी तर्क: किसी अनुमान को अपडेट करने का एक मॉडल
बेज़ी अनुमान प्रतिद्वंद्वी की चालों के वितरण के बारे में अनिश्चितता को अपडेट करने का एक अनुशासित तरीक़ा देता है। इसके लिए एक घोषित प्रायर, एक संभाव्यता (likelihood) मॉडल और अवलोकित डेटा चाहिए; किसी चाल के बाद बस अपनी राय बदल लेना अपने आप बेज़ी विश्लेषण नहीं है:
- संतुलन आधार: भरोसेमंद प्रमाण न हो, तो स्वतंत्र बराबर रैंडमाइज़ेशन अपनाएं।
- अपडेट: जैसे-जैसे तुलनीय चालें जमा हों, अनुमान लगाएं कि प्रतिद्वंद्वी के अलग-अलग मॉडलों के तहत ये अवलोकन कितने संभावित हैं, और अनिश्चितता को सामने रखें।
एक राउंड में आमतौर पर बहुत कम जानकारी होती है, और छोटे मैच शोर भरे होते हैं। कोई मज़बूत प्रायर दावा या जटिल मॉडल झूठा भरोसा पैदा कर सकता है, जब तक बाद की चालों पर उसकी जांच न हो।
उदाहरण के तौर पर दोहराया गया तर्क
खिलाड़ी इस पर सोच सकते हैं कि प्रतिद्वंद्वी किसी अनुमान पर कैसे प्रतिक्रिया देगा। नीचे की सीढ़ी एक उदाहरण है, प्रतियोगियों के लिए कोई मापी गई रैंकिंग प्रणाली नहीं:
- आधार: बराबर संभावना से स्वतंत्र रूप से चुनें।
- एक प्रतिक्रिया: प्रतिद्वंद्वी के किसी दर्ज झुकाव का अनुमान लगाएं और उसकी काट चुनें।
- दूसरा क्रम: सोचें कि क्या प्रतिद्वंद्वी उस काट की उम्मीद करता है और ख़ुद को बदलेगा।
- रुकने का नियम: “उन्हें पता है कि मुझे पता है” की निराधार कड़ी से बचें; जब अवलोकन मॉडलों में फ़र्क़ न कर पाएं तो आधार पर लौट आएं।
गहरी कहानियां अपने आप बेहतर अनुमान नहीं होतीं। वह सबसे सरल मॉडल चुनें जो बाद की, अनदेखी चालों पर अच्छा प्रदर्शन करे।
विकासवादी गेम थ्योरी में RPS
Sinervo और Lively (1996) ने नर साइड-ब्लॉच्ड छिपकलियों की तीन रूप-रणनीतियों का मॉडल बनाया, जिनके संबंध अ-सकर्मक (non-transitive) और आवृत्ति-निर्भर थे। छह साल के क्षेत्र-अवलोकनों में रूपों की आवृत्तियां ऊपर-नीचे होती दिखीं, जो मॉडल के अनुमान से मेल खाती थीं।
जीवविज्ञानी इसे RPS गतिकी कहते हैं, क्योंकि हर रणनीति को एक पर बढ़त और दूसरी के ख़िलाफ़ नुक़सान होता है। यह रूपों के बीच चयन का एक गणितीय सादृश्य है, इस बात का प्रमाण नहीं कि जानवर इंसानों वाला हाथ का खेल खेलते हैं या हर प्रतिस्पर्धी प्रणाली इसी चक्र पर चलती है।
इसका आपके लिए क्या मतलब है
गेम थ्योरी सुरक्षित आधार और उसके पीछे की सटीक मान्यताओं की पहचान करती है। प्रतिद्वंद्वी-विशेष रणनीति अपेक्षित लाभ तभी बढ़ा सकती है जब उस आधार से विचलन का अनुमान काफ़ी अच्छी तरह लगाया जाए, वह बना रहे, और चूकों को अनदेखा किए बिना उसकी जांच हो।
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