じゃんけんの確率

基本の確率：1回勝負

完全にランダムな相手に対して、じゃんけん1回の結果はちょうど3通り。それぞれの確率は等しくなります。

• 勝ち：3分の1（33.3%）
• 負け：3分の1（33.3%）
• あいこ：3分の1（33.3%）

両プレイヤーがそれぞれの手を独立に1/3の確率で選ぶ場合、等しく起こりうる順序つきの組み合わせは9通りあります。先のプレイヤーは3通りで勝ち、3通りで負け、3通りであいこになります。このモデルでは、数学的に強い手は存在しません。循環に必要なのは、どの手も1つに勝ち1つに負けることだけです。パーがグーに勝つことは、物理的な現実味に依存しません。

あいこをやり直し、次に決着した勝負だけを数えるなら、対称性により各プレイヤーがその勝負を取る確率は50%です。この条件つきの結果は、あいこを理由にどちらのプレイヤーも戦略を変えないことを前提としています。

試合の確率：3本勝負とその先

競技じゃんけんが1回勝負で終わることはまずありません。決着した勝負だけを数え（あいこはやり直し）、ランダムな相手に対しては次のようになります。

• 3本勝負に勝つ：50%。2敗する前に2勝する必要があります
• 2連勝：4分の1（25%）
• 3連勝：8分の1（12.5%）
• 5連勝：32分の1（約3%）
• 10連勝：1,024分の1（約0.1%）

対称な先取形式であれば、実力が等しく独立なプレイヤー同士は50/50のままです。実力差のある対戦をモデル化するには、決着した1手ごとに安定した確率を仮定します。一方のプレイヤーが決着した各勝負を独立に55%で取るなら、二項モデルでは5本勝負で約59.3%、21本勝負で約67.9%になります。手の結果が互いに依存する場合や、試合中に優位が変わる場合、これらの値は変わります。大会の形式そのものが実力を生むわけではありません。

じゃんけんは公平か？

示した対称な利得と、独立で等確率のランダムという前提のもとでは、公平です。各プレイヤーは同じ選択肢と同じ期待利得を持ち、1/3ずつの混合戦略ナッシュ均衡は突かれることがありません。ゲーム理論ガイドでは、この期待値と、有限の試合での保証された結果とを区別しています。

2人があいこをやり直して最初に決着した結果を使う場合、等確率のランダムなプレイは、公正なコインと同じ50/50の勝率になります。裁判所やオークションハウスが記録に残る決定でじゃんけんを使ったことはありますが、その歴史は参加者が完全にランダムに出したことを証明するものではありません。出典つきの有名な決定をご覧ください。

1/3の法則が崩れるところ：人間

人間のプレイに関する研究は、独立で等確率のランダムというモデルが不完全な記述になりうることを示しています。Wangら（2014年）は、ランダムに組み合わされる6人組に分かれた大学生360人を対象に、報酬つきの300ラウンドを調べ、結果に条件づけられた反応による集団の循環をモデル化しました。Dysonら（2016年）は、学部生31人を等確率ランダムのコンピュータと225ラウンド対戦させ、負けやあいこのあとに手を切り替えることが多いと報告しました。

どちらの研究も、万人に共通する初手や、パーの固定的な優位を示してはいません。これらの知見は、じゃんけんの戦略における相手や状況に応じた検証と、じゃんけんの心理学における対象集団、手順、不確かさの慎重な扱いの動機となっています。

等確率ランダムと分かっている相手に対しては、どの手にも優位はありません。人間が相手なら、偏りはパターンを前提にしてよい根拠ではなく、測定すべき仮説です。

バリエーションの確率

手を増やしたときにあいこの確率が変わるのは、前提を明示した場合に限られます。じゃんけんリザード・スポックでは、5つの手がそれぞれ2つに勝ち2つに負けます。両プレイヤーが独立かつ一様に選ぶなら、同じ手になるのは25通りの順序つきの組み合わせのうち5通りなので、あいこの確率は1/5（20%）です。どのn種類の手のバリエーションでも、あいこの確率が1/nになるのは、2人の選択が独立かつ一様で、手が一致したときにちょうどあいこになる場合だけです。

自分で確かめてみる

繰り返しプレイして、観察された頻度や手の移り変わりを、事前に立てた予測と比べましょう。練習、人間同士の競技、AIとの結果は分けて扱い、ずれを解釈する前に決着した勝負の数を報告してください。定義済みのWRPSAの集計値は統計ページをご覧ください。