В игре «камень, ножницы, бумага» на двоих против случайного соперника вы выигрываете в 1/3 случаев, проигрываете в 1/3 и сводите вничью 1/3. Поэтому ваш ожидаемый результат ровно ноль. Стратегия, которую нельзя обыграть на длинной дистанции, — показывать камень, бумагу и ножницы с вероятностью 1/3 каждый. Эта смесь и есть равновесие Нэша в этой игре.
Вот весь ответ в двух предложениях. Остальная часть страницы показывает расчёты, распространяет их на группы из трёх и более игроков и заканчивается планом урока, потому что это одна из лучших игр для обучения теории вероятностей.
Таблица выигрышей
Считайте победу как +1, поражение как -1, а ничью как 0. С вашей точки зрения (строки — ваш жест, столбцы — жест соперника):
| Вы / Соперник | Камень | Бумага | Ножницы |
|---|---|---|---|
| Камень | 0 | -1 | +1 |
| Бумага | +1 | 0 | -1 |
| Ножницы | -1 | +1 | 0 |
В каждой строке и каждом столбце одно +1, одно -1 и один 0. Эта симметрия — источник всего, что будет ниже. Она же делает игру игрой с нулевой суммой: что вы получаете, то соперник теряет.
Вероятность каждого исхода
Если оба игрока выбирают случайно, есть 3 x 3 = 9 равновероятных пар жестов. Три из них — ничьи (камень-камень, бумага-бумага, ножницы-ножницы), три — ваши победы и три — поражения.
- P(победа) = 3/9 = 1/3
- P(ничья) = 3/9 = 1/3
- P(поражение) = 3/9 = 1/3
Если не считать ничьи, вы выигрываете ровно половину решённых раундов.
Ожидаемое значение
Ожидаемое значение хода — сумма всех выигрышей, умноженных на их вероятности. Пусть соперник показывает камень с вероятностью r, бумагу — p, ножницы — s, где r + p + s = 1. Читая таблицу выигрышей по строкам:
- EV(камень) = 0·r - 1·p + 1·s = s - p
- EV(бумага) = 1·r + 0·p - 1·s = r - s
- EV(ножницы) = -1·r + 1·p + 0·s = p - r
Если соперник играет r = p = s = 1/3, все три равны нулю. Что бы вы ни делали, это не помогает и не вредит.
Если он чаще выбирает камень, скажем r = 0,40, p = 0,35, s = 0,25, то EV(бумага) = 0,40 - 0,25 = +0,15 за ход. За 100 ходов это ожидаемые 15 очков. Именно поэтому привычки в реальной жизни важны. Наши собственные данные о частоте жестов показывают, что люди действительно чаще выбирают камень.
Почему треть на каждый жест — равновесие Нэша
Равновесие Нэша — это пара стратегий, при которой ни один игрок не может улучшить результат, меняя только свою стратегию.
Посмотрите ещё раз на формулы ожидаемого значения. Если соперник показывает какой-то вариант чаще, чем в 1/3 случаев, хотя бы у одного вашего жеста положительное ожидаемое значение, и вам стоит сместиться к нему. Единственная смесь соперника, при которой у вас нет выгодного ответа, — r = p = s = 1/3. По симметрии то же верно и для него. Значит, единственное равновесие — оба игрока выбирают случайно и поровну, а ценность игры равна 0.
Два следствия удивляют людей:
- Равновесие не выигрывает. Оно гарантирует, что вы выйдете в ноль против кого угодно. Это защита, а не нападение.
- Чтобы обыграть живого человека, нужно выйти из равновесия. Вы получаете выгоду, только пользуясь его перекосом, а это, в свою очередь, открывает вас для ответного удара. Наша страница теории игр подробнее разбирает этот компромисс.
Сколько ждать победителя?
Каждый раунд на двоих решается с вероятностью 2/3. Число раундов до решения подчиняется геометрическому распределению, поэтому ожидаемое число раундов равно 1 / (2/3) = 1,5. Вероятность трёх ничьих подряд — (1/3)^3, около 3,7%.
Ничьи, когда игроков больше двух
Если n игроков показывают жесты случайно, раунд решён, только если появились ровно два из трёх жестов. Если появились все три или все показали одно и то же, победителя нет. Для любой конкретной пары жестов число исходов, где есть оба и больше ничего, равно 2^n - 2. Выбрать пару можно 3 способами, а всего исходов 3^n. Итак:
P(решено) = 3(2^n - 2) / 3^n, и P(ничья) = 1 - 3(2^n - 2) / 3^n
| Игроки (n) | P(ничья) |
|---|---|
| 2 | 3/9 ≈ 33,3% |
| 3 | 9/27 ≈ 33,3% |
| 4 | 39/81 ≈ 48,1% |
| 5 | 153/243 ≈ 63,0% |
| 6 | 543/729 ≈ 74,5% |
| 10 | около 94,8% |
Поэтому большая группа, которая пытается показать жесты одновременно, редко получает результат. Для групп больше трёх человек лучше провести турнир из матчей один на один. Наш бесплатный инструмент для мероприятий делает именно это.
Как учить теории вероятностей с помощью «камень, ножницы, бумаги»
Мне нравится этот урок, потому что ученики уже знают игру и у них есть о ней мнение. Значит, есть предсказание, которое можно проверить.
- Предскажите. Спросите класс, какой жест выигрывает чаще всего. Запишите голоса.
- Перечислите. В парах выпишите все 9 исходов и отметьте каждый как победу, поражение или ничью. Выведите цифры 1/3.
- Соберите данные. Каждая пара играет 30 раундов и записывает жесты и результаты. Сведите данные класса на доске.
- Сравните. Близок ли наблюдаемый процент побед к 1/3? Камень выбирают слишком часто? Обсудите разницу между случайным разбросом и настоящим перекосом.
- Расширьте. Старшие ученики могут посчитать ожидаемое значение против реальных частот жестов в классе и найти лучший ответный жест.
- Группы. Пусть группы из 3, 4 и 5 человек показывают жесты одновременно и считают, как часто раунд решается. Потом сверьтесь с таблицей выше.
Занятие охватывает пространство исходов, равновероятные исходы, относительную частоту, ожидаемое значение и, для сильных классов, идею равновесия. Страница правил — удобная раздаточная памятка, если кому-то нужно освежить правила.
Вопросы и ответы
Какие шансы выиграть в «камень, ножницы, бумагу»?
Против случайного соперника: 1/3 победа, 1/3 ничья, 1/3 поражение. Без учёта ничьих — 50%.
Есть ли математически лучший ход?
Одного хода нет. Лучшая защитная стратегия — случайная смесь по трети, которая в среднем не может проиграть.
Какие шансы на ничью при трёх игроках?
Ровно 1/3, как и при двух. Начиная с четырёх игроков, ничья быстро становится вероятнее, чем её отсутствие.
«Камень, ножницы, бумага» — это чистая удача?
Между двумя идеальными генераторами случайности — да. Между людьми — нет, потому что у людей есть предсказуемые привычки, и математика позволяет ими пользоваться.