Пенальти в футболе — это «камень, ножницы, бумага» в реальной жизни. Бьющий и вратарь выбирают сторону практически одновременно, и любой предсказуемой закономерностью можно воспользоваться. Поэтому лучшая стратегия для обоих — действовать случайно. Экономисты проверили это на тысячах профессиональных пенальти и выяснили, что игроки ведут себя удивительно близко к тому, что предсказывает теория игр со смешанными стратегиями.
Почему у двух игр одинаковая структура
В «камень, ножницы, бумаге» ни один игрок не может отреагировать на ход другого, и на каждый постоянный выбор есть ответ. Равновесие — непредсказуемо смешивать ходы, по трети каждого. Полный вывод есть в статье математика «камень, ножницы, бумаги».
С пенальти похоже. Мяч долетает до ворот слишком быстро, чтобы вратарь успел подождать и среагировать. Поэтому вратарь должен выбрать сторону примерно в момент удара. Если бы бьющий всегда бил влево, вратари всегда прыгали бы влево. Если бы вратарь всегда прыгал вправо, бьющие всегда били бы влево. Ни одна чистая стратегия не выживает, поэтому обе стороны смешивают.
Главное отличие в том, что пенальти несимметричны. Большинство бьющих точнее бьют в «свою» сторону (у правшей обычно в правую сторону от вратаря). А центр — третий вариант, рискованный, если вратарь остаётся на месте. Поэтому равновесие — не равное деление. Теория предсказывает кое-что тоньше: каждый игрок должен смешивать так, чтобы другому было всё равно. То есть процент голов у бьющего должен быть одинаковым, куда бы он ни бил, а процент сейвов у вратаря — одинаковым, куда бы он ни прыгал.
Что нашли исследования
Кьяппори, Левитт и Гроуклоуз (2002). Пьер-Андре Кьяппори, Стивен Левитт и Тимоти Гроуклоуз опубликовали статью «Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer» («Проверка равновесий в смешанных стратегиях при разных игроках: случай пенальти в футболе») в American Economic Review (т. 92, № 4). На пенальти из матчей высших европейских лиг они построили модель, в которой бьющие и вратари могут различаться по мастерству, и проверили её предсказания. Данные в целом согласовались с тем, что игроки действуют случайно, как предсказывает теория. В том числе подтвердились неожиданные предсказания, например, как часто бьющим стоит целиться в центр.
Паласиос-Уэрта (2003). Игнасио Паласиос-Уэрта в статье «Professionals Play Minimax» («Профессионалы играют по минимаксу») в Review of Economic Studies (т. 70) разобрал 1417 пенальти из профессиональных матчей европейских лиг. Он проверил два следствия теоремы о минимаксе. Первое: процент голов должен быть одинаковым для всех вариантов выбора каждого игрока. Второе: выборы каждого игрока должны быть независимы друг от друга, без заметной закономерности от удара к удару. Профессионалы прошли обе проверки. Это поразительно, потому что участники лабораторных опытов, которых просят действовать случайно, обычно не справляются.
Что это значит для вашей игры в «камень, ножницы, бумагу»
Урок пенальти не в том, чтобы «быть случайным». Он точнее:
- Будьте случайны в том, что видит соперник. Профессиональные бьющие не чередовали удары и не делали заметных серий. Любители в RPS почти всегда так делают. Наши собственные данные о закономерностях ходов показывают, что игроки сильно реагируют на последний результат.
- Неравные варианты требуют неравной смеси. В вариантах, где жесты несимметричны, как в некоторых вариациях, правильная смесь — та, при которой сопернику всё равно. Не обязательно по трети.
- Пользуйтесь слабостями, но осторожно. Если заметили закономерность, играйте против неё. Как только вы сами стали предсказуемы, вы вернули преимущество сопернику.
Смешанные стратегии подробнее описаны на нашей странице теории игр, а свою случайность можно проверить, играя бесплатно онлайн.
Вопросы и ответы
Правда ли, что пенальтисты действуют случайно?
Данные Кьяппори, Левитта и Гроуклоуза (2002) и Паласиоса-Уэрты (2003) говорят, что профессионалы близки к равновесному смешиванию, и в целом у них нет закономерностей в последовательности, которыми можно воспользоваться.
Почему пенальти похожи на «камень, ножницы, бумагу»?
В обеих играх ходы делаются одновременно и на каждый предсказуемый выбор есть ответ. Поэтому устойчивая стратегия — смешивать.
Лучшая стратегия — бить в каждую сторону в половине случаев?
Нет. Бьющие сильнее в одну сторону, поэтому оптимальная смесь неравная. Одинаковым должен быть процент успеха для каждого варианта.