En una partida de Piedra Papel o Tijera entre dos personas contra un rival que juega al azar, ganas 1/3 de las veces, pierdes 1/3 y empatas 1/3, así que tu puntuación esperada es exactamente cero. La estrategia que no se puede vencer a largo plazo es sacar piedra, papel y tijera, cada una con probabilidad 1/3; esa mezcla es el equilibrio de Nash del juego.
Esa es toda la respuesta en dos frases. El resto de esta página muestra el cálculo, lo amplía a grupos de tres o más jugadores y termina con un plan de clase, porque este es uno de los mejores juegos que existen para enseñar probabilidad.
La tabla de pagos
Cuenta una victoria como +1, una derrota como -1 y un empate como 0. Desde tu punto de vista (las filas son tu jugada y las columnas, la del rival):
| Tú / Rival | Piedra | Papel | Tijera |
|---|---|---|---|
| Piedra | 0 | -1 | +1 |
| Papel | +1 | 0 | -1 |
| Tijera | -1 | +1 | 0 |
Cada fila y cada columna tiene un +1, un -1 y un 0. Esa simetría explica todo lo que viene después. También hace que el juego sea de suma cero: lo que tú ganas, lo pierde tu rival.
Probabilidad de cada resultado
Si los dos jugadores eligen al azar, hay 3 x 3 = 9 pares de jugadas igual de probables. Tres son empates (piedra-piedra, papel-papel, tijera-tijera), tres son victorias para ti y tres son derrotas.
- P(ganar) = 3/9 = 1/3
- P(empatar) = 3/9 = 1/3
- P(perder) = 3/9 = 1/3
Si no cuentas los empates, ganas exactamente la mitad de las rondas que se deciden.
Valor esperado
El valor esperado de una jugada es la suma de cada pago multiplicado por su probabilidad. Supón que tu rival saca piedra con probabilidad r, papel con p y tijera con s, donde r + p + s = 1. Leyendo la tabla de pagos por filas:
- VE(piedra) = 0·r - 1·p + 1·s = s - p
- VE(papel) = 1·r + 0·p - 1·s = r - s
- VE(tijera) = -1·r + 1·p + 0·s = p - r
Si tu rival juega r = p = s = 1/3, las tres dan cero. Nada de lo que hagas te ayuda ni te perjudica.
Si tiende a sacar piedra, por ejemplo r = 0.40, p = 0.35, s = 0.25, entonces VE(papel) = 0.40 - 0.25 = +0.15 por jugada. En 100 jugadas, eso son 15 puntos esperados. Por eso importan tanto los hábitos reales; nuestros propios datos de frecuencia de jugadas muestran que la gente sí tiende a sacar piedra.
Por qué un tercio de cada jugada es el equilibrio de Nash
Un equilibrio de Nash es un par de estrategias en el que ningún jugador puede mejorar cambiando solo su propia estrategia.
Mira otra vez las fórmulas del valor esperado. Si tu rival saca cualquier opción más de 1/3 de las veces, al menos una de tus jugadas tiene un valor esperado positivo y te conviene inclinarte hacia ella. La única mezcla del rival que no te deja ninguna respuesta rentable es r = p = s = 1/3. Por simetría, lo mismo vale para el rival. Así que el único equilibrio es que ambos jugadores elijan al azar de forma pareja, y el valor del juego es 0.
Hay dos consecuencias que sorprenden a la gente:
- El equilibrio no gana. Te garantiza quedar a mano contra cualquiera. Es una defensa, no un ataque.
- Para ganarle a una persona real tienes que salir del equilibrio. Solo sacas ventaja si aprovechas su sesgo, y eso te deja expuesto a que también te aprovechen a ti. Nuestra página de teoría de juegos profundiza en este intercambio.
¿Cuánto tarda alguien en ganar?
Cada ronda entre dos jugadores se decide con probabilidad 2/3. El número de rondas hasta que hay un resultado sigue una distribución geométrica, así que el número esperado de rondas es 1 / (2/3) = 1.5. La probabilidad de tres empates seguidos es (1/3)^3, alrededor del 3.7%.
Empates con más de dos jugadores
Con n jugadores que sacan al azar, una ronda solo se decide si aparecen exactamente dos de las tres jugadas. Si aparecen las tres, o si todos sacan lo mismo, no hay ganador. Para cada par concreto de jugadas, el número de resultados que usan las dos y ninguna otra es 2^n - 2. Hay 3 formas de elegir el par y 3^n resultados en total. Por lo tanto:
P(se decide) = 3(2^n - 2) / 3^n, y P(empate) = 1 - 3(2^n - 2) / 3^n
| Jugadores (n) | P(empate) |
|---|---|
| 2 | 3/9 ≈ 33.3% |
| 3 | 9/27 ≈ 33.3% |
| 4 | 39/81 ≈ 48.1% |
| 5 | 153/243 ≈ 63.0% |
| 6 | 543/729 ≈ 74.5% |
| 10 | alrededor del 94.8% |
Por eso un grupo grande que intenta jugar a la vez casi nunca obtiene un resultado. Para grupos de más de tres, mejor organiza un cuadro de eliminatorias uno contra uno. Nuestra herramienta gratuita para organizar eventos hace justo eso.
Enseñar probabilidad con Piedra Papel o Tijera
Me gusta esta clase porque los estudiantes ya conocen el juego y tienen opiniones sobre él, lo que te da una predicción para poner a prueba.
- Predecir. Pregunta a la clase qué jugada gana más. Anota los votos.
- Enumerar. En parejas, escriban los 9 resultados y marquen cada uno como victoria, derrota o empate. Deduzcan las cifras de 1/3.
- Recoger datos. Cada pareja juega 30 rondas y anota jugadas y resultados. Junten los datos de toda la clase en el pizarrón.
- Comparar. ¿La tasa de victorias observada se acerca a 1/3? ¿Se saca piedra más de la cuenta? Hablen de la variación por muestreo frente a un sesgo real.
- Ampliar. Los estudiantes mayores pueden calcular el valor esperado según las frecuencias reales de la clase y encontrar la mejor jugada para contrarrestarlas.
- Grupos. Pide a grupos de 3, 4 y 5 que jueguen a la vez y cuenten cuántas veces se decide una ronda; luego compárenlo con la tabla de arriba.
La actividad cubre espacios muestrales, resultados igual de probables, frecuencia relativa, valor esperado y, en clases avanzadas, la idea de equilibrio. La página de reglas sirve como hoja de apoyo si alguien necesita repasar.
Preguntas frecuentes
¿Qué probabilidad hay de ganar en Piedra Papel o Tijera?
Contra un rival que juega al azar: 1/3 de ganar, 1/3 de empatar y 1/3 de perder. Sin contar los empates, 50%.
¿Existe una jugada matemáticamente mejor?
No hay una sola jugada. La mejor estrategia defensiva es una mezcla al azar de un tercio para cada opción, que en promedio no puede perder.
¿Qué probabilidad hay de empate con tres jugadores?
Exactamente 1/3, igual que con dos. A partir de cuatro jugadores, los empates pronto pasan a ser más probables que no.
¿Piedra Papel o Tijera es pura suerte?
Entre dos jugadores perfectamente aleatorios, sí. Entre personas, no, porque la gente tiene hábitos predecibles que las matemáticas te permiten aprovechar.