Numa partida de pedra, papel e tesoura entre dois jogadores, contra um adversário aleatório, você vence 1/3 das vezes, perde 1/3 e empata 1/3, então sua pontuação esperada é exatamente zero. A estratégia que não pode ser vencida no longo prazo é jogar pedra, papel e tesoura, cada uma com probabilidade de 1/3; essa mistura é o equilíbrio de Nash do jogo.
Essa é a resposta inteira em duas frases. O resto da página mostra as contas, estende tudo para grupos de três ou mais jogadores e termina com um plano de aula, porque este é um dos melhores jogos que existem para ensinar probabilidade.
A tabela de resultados
Conte uma vitória como +1, uma derrota como -1 e um empate como 0. Do seu ponto de vista (as linhas são a sua jogada, as colunas a do adversário):
| Você / Adversário | Pedra | Papel | Tesoura |
|---|---|---|---|
| Pedra | 0 | -1 | +1 |
| Papel | +1 | 0 | -1 |
| Tesoura | -1 | +1 | 0 |
Cada linha e cada coluna tem um +1, um -1 e um 0. Essa simetria é a origem de tudo o que vem abaixo. Ela também faz do jogo um jogo de soma zero: tudo o que você ganha, o adversário perde.
A probabilidade de cada resultado
Há 3 x 3 = 9 pares de jogadas igualmente prováveis se os dois jogadores escolherem ao acaso. Três são empates (pedra-pedra, papel-papel, tesoura-tesoura), três são vitórias suas e três são derrotas.
- P(vitória) = 3/9 = 1/3
- P(empate) = 3/9 = 1/3
- P(derrota) = 3/9 = 1/3
Sem contar os empates, você vence exatamente metade das rodadas decididas.
Valor esperado
O valor esperado de uma jogada é a soma de cada resultado multiplicado pela sua probabilidade. Suponha que o adversário jogue pedra com probabilidade r, papel com p e tesoura com s, com r + p + s = 1. Lendo a tabela de resultados:
- VE(pedra) = 0·r - 1·p + 1·s = s - p
- VE(papel) = 1·r + 0·p - 1·s = r - s
- VE(tesoura) = -1·r + 1·p + 0·s = p - r
Se o adversário joga r = p = s = 1/3, os três dão zero. Nada do que você fizer ajuda ou atrapalha.
Se ele puxa para a pedra, digamos r = 0,40, p = 0,35, s = 0,25, então VE(papel) = 0,40 - 0,25 = +0,15 por jogada. Em 100 jogadas, isso dá 15 pontos esperados. É exatamente por isso que os hábitos do mundo real importam; nossos próprios dados de frequência das jogadas mostram que as pessoas puxam mesmo para a pedra.
Por que um terço para cada é o equilíbrio de Nash
Um equilíbrio de Nash é um par de estratégias em que nenhum jogador consegue melhorar mudando só a própria estratégia.
Olhe de novo as fórmulas de VE. Se o adversário jogar qualquer opção mais de 1/3 das vezes, pelo menos uma das suas jogadas terá valor esperado positivo, e você deve pender para ela. A única mistura do adversário que não deixa nenhuma resposta lucrativa é r = p = s = 1/3. Por simetria, o mesmo vale para ele. Então o único equilíbrio é os dois jogadores sortearem por igual, e o valor do jogo é 0.
Duas consequências surpreendem as pessoas:
- O equilíbrio não vence. Ele garante que você fique no zero a zero contra qualquer um. É uma defesa, não um ataque.
- Vencer uma pessoa real exige sair do equilíbrio. Você só lucra explorando a tendência dela, o que também abre espaço para você ser explorado. Nossa página de teoria dos jogos aprofunda essa troca.
Quanto tempo até alguém vencer?
Cada rodada entre dois jogadores tem resultado com probabilidade 2/3. O número de rodadas até haver um resultado segue uma distribuição geométrica, então o número esperado de rodadas é 1 / (2/3) = 1,5. A chance de três empates seguidos é (1/3)^3, cerca de 3,7%.
Empates com mais de dois jogadores
Com n jogadores jogando ao acaso, uma rodada só tem resultado se aparecerem exatamente duas das três jogadas. Se aparecerem as três, ou se todos jogarem a mesma coisa, não há vencedor. Para cada par de jogadas, o número de resultados que usam as duas e nada mais é 2^n - 2. Há 3 jeitos de escolher o par e 3^n resultados no total. Então:
P(com resultado) = 3(2^n - 2) / 3^n, e P(empate) = 1 - 3(2^n - 2) / 3^n
| Jogadores (n) | P(empate) |
|---|---|
| 2 | 3/9 ≈ 33,3% |
| 3 | 9/27 ≈ 33,3% |
| 4 | 39/81 ≈ 48,1% |
| 5 | 153/243 ≈ 63,0% |
| 6 | 543/729 ≈ 74,5% |
| 10 | cerca de 94,8% |
É por isso que um grupo grande jogando ao mesmo tempo raramente chega a um resultado. Para grupos com mais de três pessoas, faça uma chave de confrontos um contra um. Nossa ferramenta grátis para criar eventos faz exatamente isso.
Ensinando probabilidade com pedra, papel e tesoura
Gosto desta aula porque os alunos já conhecem o jogo e têm opiniões sobre ele, o que dá uma previsão para testar.
- Prever. Pergunte à turma qual jogada vence mais. Anote a votação.
- Listar. Em duplas, listem os 9 resultados e marquem cada um como vitória, derrota ou empate. Cheguem ao valor de 1/3.
- Coletar dados. Cada dupla joga 30 rodadas e anota as jogadas e os resultados. Juntem os dados da turma no quadro.
- Comparar. A taxa de vitória observada fica perto de 1/3? A pedra sai demais? Discutam a variação da amostra contra uma tendência real.
- Ampliar. Alunos mais velhos podem calcular o valor esperado contra as frequências reais de jogadas da turma e achar a melhor jogada de resposta.
- Grupos. Façam grupos de 3, 4 e 5 jogarem ao mesmo tempo e contem quantas vezes uma rodada tem resultado; depois comparem com a tabela acima.
A atividade trabalha espaço amostral, resultados igualmente prováveis, frequência relativa, valor esperado e, para turmas avançadas, a ideia de equilíbrio. A página de regras é um bom material para entregar se alguém precisar relembrar.
Perguntas frequentes
Quais são as chances de vencer no pedra, papel e tesoura?
Contra um adversário aleatório: 1/3 de vitória, 1/3 de empate, 1/3 de derrota. Sem contar os empates, 50%.
Existe uma jogada matematicamente melhor?
Nenhuma jogada sozinha. A melhor estratégia defensiva é uma mistura aleatória de um terço para cada, que não perde na média.
Quais são as chances de empate com três jogadores?
Exatamente 1/3, igual a dois jogadores. A partir de quatro jogadores, o empate logo passa a ser mais provável que o contrário.
O pedra, papel e tesoura é pura sorte?
Entre dois sorteadores perfeitos, sim. Entre humanos, não, porque as pessoas têm hábitos previsíveis que a matemática deixa você explorar.