两个人玩石头剪刀布，如果对手完全随机出手，你赢的概率是 1/3，输 1/3，平 1/3，所以你的期望得分正好是零。长期来看无法被击败的策略，就是石头、布、剪刀各以 1/3 的概率出。这种组合就是这个游戏的纳什均衡。
两句话就是全部答案。本页剩下的内容会给出推导过程，把结论推广到三人及以上的情况，最后附上一份课堂教案，因为这是教概率最好用的游戏之一。
收益表
赢记 +1，输记 -1，平记 0。从你的角度看（行是你出的，列是对手出的）：
| 你 / 对手 | 石头 | 布 | 剪刀 |
|---|---|---|---|
| 石头 | 0 | -1 | +1 |
| 布 | +1 | 0 | -1 |
| 剪刀 | -1 | +1 | 0 |
每一行、每一列都恰好有一个 +1、一个 -1 和一个 0。下面所有结论都来自这种对称。它也让这个游戏成为零和游戏：你赢多少，对手就输多少。
每种结果的概率
如果双方都随机出手，一共有 3 x 3 = 9 种同样可能的组合。其中 3 种是平局（石头对石头、布对布、剪刀对剪刀），3 种是你赢，3 种是你输。
- P(赢) = 3/9 = 1/3
- P(平) = 3/9 = 1/3
- P(输) = 3/9 = 1/3
不算平局的话，分出胜负的回合里你正好赢一半。
期望值
一次出手的期望值，就是每种收益乘以它的概率，再加起来。假设对手出石头的概率是 r，出布是 p，出剪刀是 s，且 r + p + s = 1。按收益表横着读：
- EV(石头) = 0·r - 1·p + 1·s = s - p
- EV(布) = 1·r + 0·p - 1·s = r - s
- EV(剪刀) = -1·r + 1·p + 0·s = p - r
如果对手 r = p = s = 1/3，三个值都是零。你怎么出都不会更好，也不会更差。
如果对手偏爱石头，比如 r = 0.40、p = 0.35、s = 0.25，那么 EV(布) = 0.40 - 0.25 = 每次 +0.15。打 100 次，期望能多赢 15 分。这正是现实中的习惯很重要的原因。我们自己的出手频率数据显示，人们确实更爱出石头。
为什么各出三分之一就是纳什均衡
纳什均衡是指一对策略：任何一方只改变自己的策略，都不会得到更好的结果。
再看一遍期望值公式。只要对手有任何一种手势出得超过 1/3，你至少有一种出法的期望值为正，你就应该多出那一种。唯一让你找不到有利应对的对手组合，就是 r = p = s = 1/3。因为对称，对手那边也一样。所以唯一的均衡就是双方都均匀随机出手，这个游戏的价值是 0。
有两个推论常常让人意外：
- 均衡策略不会赢。 它只保证你对谁都不亏。它是防守，不是进攻。
- 想赢真人，就得离开均衡。 你只能靠利用对方的偏好来获利，而这样做也会让你自己露出破绽。我们的博弈论页面会更深入地讨论这种取舍。
要多久才能分出胜负？
两人对局中，每一回合分出胜负的概率是 2/3。分出胜负所需的回合数服从几何分布，所以期望回合数是 1 / (2/3) = 1.5。连续三次平局的概率是 (1/3)^3，约 3.7%。
超过两人时的平局
n 个人同时随机出手时，只有当三种手势中恰好出现两种，这一回合才能分出胜负。如果三种都出现了，或者所有人出的都一样，就没有赢家。对任意一对手势来说，只用到这两种、不含第三种的结果共有 2^n - 2 种。选出这一对手势有 3 种方法，总结果数是 3^n。所以：
P(分出胜负) = 3(2^n - 2) / 3^n，P(平局) = 1 - 3(2^n - 2) / 3^n
| 人数 (n) | P(平局) |
|---|---|
| 2 | 3/9 ≈ 33.3% |
| 3 | 9/27 ≈ 33.3% |
| 4 | 39/81 ≈ 48.1% |
| 5 | 153/243 ≈ 63.0% |
| 6 | 543/729 ≈ 74.5% |
| 10 | 约 94.8% |
这就是为什么一大群人一起出手，很少能出结果。超过三个人时，最好改成一对一的淘汰赛。我们免费的赛事主办工具就是这么做的。
用石头剪刀布教概率
我喜欢这节课，因为学生本来就会玩，而且对它有自己的看法，这就给了你一个可以检验的预测。
- 预测。 问全班哪种手势赢得最多，记下投票结果。
- 列举。 两人一组，列出全部 9 种结果，标出赢、输、平，推导出 1/3 这个数字。
- 收集数据。 每组玩 30 回合，记录出手和结果，再把全班数据汇总到黑板上。
- 比较。 实际胜率接近 1/3 吗？石头是不是出得偏多？讨论抽样波动和真实偏好的区别。
- 拓展。 高年级学生可以根据全班真实的出手频率计算期望值，找出最佳的应对手势。
- 多人。 让 3 人、4 人、5 人的小组同时出手，数一数多少回合能分出胜负，再和上面的表格对照。
这个活动涵盖了样本空间、等可能结果、相对频率、期望值，高阶班级还能讲到均衡的概念。如果有人需要复习规则，规则页面可以直接当讲义用。
常见问题
石头剪刀布赢的概率是多少？
对手随机出手时：赢 1/3，平 1/3，输 1/3。不算平局的话是 50%。
数学上有最好的出法吗？
没有哪一种单独的手势最好。最好的防守策略是三种各出三分之一的随机组合，从期望上看它不会输。
三个人玩时平局的概率是多少？
正好是 1/3，和两个人时一样。从四个人开始，平局很快就会比分出胜负更常见。
石头剪刀布纯靠运气吗？
如果双方都是完美的随机出手者，是的。但人与人之间不是，因为人有可预测的习惯，而数学能让你利用这些习惯。