足球点球就是现实版的石头剪刀布：罚球队员和守门员几乎在同一瞬间选择方向，任何可预测的规律都会被利用，所以双方最好的策略都是随机选择。经济学家用数千个职业点球检验过这一点，发现球员的表现和混合策略博弈论的预测惊人地接近。
为什么这两个游戏结构相同
在石头剪刀布里，谁都没法根据对方的出拳再做反应，而且每一种固定选择都有克星。均衡就是不可预测地混着出，每种各占三分之一。完整推导请看石头剪刀布背后的数学。
点球也差不多。球飞向球门太快，守门员来不及看清再反应，所以他必须在罚球队员触球的差不多同时选定一边。如果罚球的人总是踢左边，守门员就会总是扑左边。如果守门员总是扑右边，罚球的人就会总是踢左边。哪种固定策略都活不下去，所以双方都会混合。
主要区别在于点球并不对称。大多数罚球队员往自己“顺脚”的一侧踢更准（对右脚球员来说，通常是守门员的右边），而中路是第三个选项，如果守门员站着不动就很危险。所以均衡并不是平均分配。理论的预测更微妙：每个球员都应该把选择混合到让对方“无所谓”的程度。也就是说，罚球队员不论往哪边踢，进球率都应该一样；守门员不论往哪边扑，扑救率也应该一样。
研究发现了什么
Chiappori、Levitt 和 Groseclose（2002）。 Pierre-André Chiappori、Steven Levitt 和 Timothy Groseclose 在 American Economic Review（第 92 卷第 4 期）发表了“Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer”（当球员能力不同时检验混合策略均衡：以足球点球为例）。他们用欧洲顶级联赛的点球数据，建立了一个允许罚球队员和守门员水平不同的模型，并检验了它的预测。数据大体符合球员按理论所说进行随机化，其中还包括一些反直觉的预测，比如罚球队员应该多常踢向中路。
Palacios-Huerta（2003）。 Ignacio Palacios-Huerta 在 Review of Economic Studies（第 70 卷）发表的“Professionals Play Minimax”（职业球员玩的是极小极大）分析了欧洲职业联赛中的 1,417 个点球。他检验了极小极大定理的两个推论：每个球员不同选择的进球率应该相等；每个球员前后的选择应该彼此独立，从一脚到下一脚看不出任何规律。职业球员两项检验都通过了。这很了不起，因为实验室里被要求随机选择的普通人通常做不到。
这对你玩石头剪刀布意味着什么
点球给我们的启示不是“要随机”，而是更具体的几点：
- 针对对手能观察到的东西去随机。 职业罚球队员不会以可察觉的方式交替或连续重复。普通的石头剪刀布玩家几乎总会这样。我们自己的出拳规律数据显示，玩家对上一轮结果的反应非常强烈。
- 选项不对等，混合比例也不对等。 在一些出拳并不对称的玩法里，比如某些变体，正确的混合比例是让对手无所谓的那个，不一定是每种三分之一。
- 可以利用规律，但要小心。 发现规律就朝反方向倾斜。一旦你自己变得可预测，优势就又交回给对方了。
我们的博弈论页面更深入地讲解了混合策略，你也可以通过免费在线玩来测试自己有多随机。
常见问题
罚点球的人真的会随机选择吗？
Chiappori、Levitt 和 Groseclose（2002）以及 Palacios-Huerta（2003）的证据表明，职业球员非常接近均衡混合，从整体看没有可被利用的顺序规律。
为什么点球像石头剪刀布？
两者都是同时行动的游戏，每一个可预测的选择都有克星，所以稳定的策略就是混合。
最好的点球策略是左右各踢一半吗？
不是。因为罚球队员往一侧踢更强，最优混合是不均匀的。真正应该相等的，是各个选择的成功率。