Ein Elfmeter im Fußball ist eine Version von Schere Stein Papier aus dem echten Leben: Schütze und Torwart wählen ihre Seite praktisch im selben Moment, und jedes vorhersehbare Muster kann ausgenutzt werden. Die beste Strategie für beide ist also, zufällig zu wählen. Ökonomen haben das mit Tausenden Elfmetern von Profis getestet und festgestellt, dass sich die Spieler erstaunlich nah an dem verhalten, was die Spieltheorie gemischter Strategien vorhersagt.
Warum beide Spiele dieselbe Struktur haben
Bei Schere Stein Papier kann keiner auf die Geste des anderen reagieren, und jede feste Wahl hat einen Konter. Das Gleichgewicht ist, die Gesten unvorhersehbar zu mischen, je ein Drittel. Die ganze Herleitung steht in Die Mathematik von Schere Stein Papier.
Ein Elfmeter ist ähnlich. Der Ball ist zu schnell im Tor, als dass der Torwart warten und reagieren könnte, also muss er sich ungefähr dann für eine Seite entscheiden, wenn der Schütze schießt. Würde ein Schütze immer nach links schießen, würden Torhüter immer nach links springen. Würde ein Torwart immer nach rechts springen, würden Schützen immer nach links schießen. Keine reine Strategie überlebt, also mischen beide Seiten.
Der Hauptunterschied: Elfmeter sind nicht symmetrisch. Die meisten Schützen sind auf ihre „natürliche“ Seite genauer (bei einem Rechtsfuß meist die rechte Seite des Torwarts), und die Mitte ist eine dritte Möglichkeit, die riskant ist, wenn der Torwart stehen bleibt. Das Gleichgewicht ist also keine gleichmäßige Aufteilung. Die Theorie sagt etwas Feineres voraus: Jeder Spieler sollte so mischen, dass es dem anderen gleichgültig ist, was er tut. Die Trefferquote des Schützen sollte also gleich sein, egal wohin er schießt, und die Abwehrquote des Torwarts gleich, egal wohin er springt.
Was die Forschung fand
Chiappori, Levitt und Groseclose (2002). Pierre-André Chiappori, Steven Levitt und Timothy Groseclose veröffentlichten „Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer“ (deutsch etwa: „Gleichgewichte gemischter Strategien bei unterschiedlichen Spielern testen: der Fall der Elfmeter im Fußball“) in der American Economic Review (Bd. 92, Nr. 4). Mit Elfmetern aus Spielen europäischer Spitzenligen bauten sie ein Modell, in dem sich Schützen und Torhüter im Können unterscheiden dürfen, und testeten seine Vorhersagen. Die Daten passten weitgehend dazu, dass Spieler zufällig wählen, wie die Theorie vorhersagt, auch bei einigen überraschenden Vorhersagen, etwa wie oft Schützen auf die Mitte zielen sollten.
Palacios-Huerta (2003). Ignacio Palacios-Huertas „Professionals Play Minimax“ (Profis spielen Minimax) in der Review of Economic Studies (Bd. 70) untersuchte 1.417 Elfmeter aus Profispielen europäischer Ligen. Er testete zwei Folgerungen aus dem Minimax-Theorem: dass die Trefferquoten über die Entscheidungen jedes Spielers gleich sein sollten und dass die Entscheidungen jedes Spielers voneinander unabhängig sein sollten, ohne erkennbares Muster von einem Schuss zum nächsten. Die Profis bestanden beide Tests. Das ist bemerkenswert, denn Versuchspersonen im Labor, die zufällig wählen sollen, scheitern meist.
Was das für dein Spiel Schere Stein Papier bedeutet
Die Lehre aus Elfmetern ist nicht „sei zufällig“. Sie ist genauer:
- Wähle zufällig in Bezug auf das, was dein Gegner beobachten kann. Profischützen wechselten nicht erkennbar ab und hatten keine erkennbaren Serien. Lockere Schere-Stein-Papier-Spieler haben fast immer welche. Unsere eigenen Daten zu Mustern bei Gesten zeigen, dass Spieler stark auf ihr letztes Ergebnis reagieren.
- Ungleiche Möglichkeiten verlangen ungleiche Mischungen. Bei Varianten, in denen die Gesten nicht symmetrisch sind, wie bei manchen Varianten, ist die richtige Mischung die, bei der es deinem Gegner gleichgültig ist, was er tut, nicht unbedingt je ein Drittel.
- Nutze Muster aus, aber vorsichtig. Wenn du ein Muster bemerkst, spiel dagegen. Sobald du selbst vorhersehbar wirst, hast du den Vorteil zurückgegeben.
Unsere Seite zur Spieltheorie behandelt gemischte Strategien genauer, und du kannst deine eigene Zufälligkeit testen, indem du kostenlos online spielst.
FAQ
Wählen Elfmeterschützen wirklich zufällig?
Die Belege von Chiappori, Levitt und Groseclose (2002) und Palacios-Huerta (2003) sagen, dass Profis nah an die Mischung des Gleichgewichts herankommen, ohne insgesamt ausnutzbare Muster in der Abfolge.
Warum ist ein Elfmeter wie Schere Stein Papier?
Beides sind Spiele mit gleichzeitigen Zügen, in denen jede vorhersehbare Wahl einen Konter hat, also ist die stabile Strategie zu mischen.
Ist die beste Elfmeterstrategie, je zur Hälfte auf jede Seite zu schießen?
Nein. Weil Schützen auf eine Seite stärker sind, ist die beste Mischung ungleich. Gleich sein sollte die Erfolgsquote über die Möglichkeiten.