In einer Partie Schere Stein Papier zu zweit gegen einen zufälligen Gegner gewinnst du 1/3 der Zeit, verlierst 1/3 und spielst 1/3 unentschieden. Dein erwartetes Ergebnis ist also genau null. Die Strategie, die auf lange Sicht nicht zu schlagen ist: Stein, Papier und Schere jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 zeigen. Diese Mischung ist das Nash-Gleichgewicht des Spiels.
Das ist die ganze Antwort in zwei Sätzen. Der Rest dieser Seite zeigt den Rechenweg, erweitert ihn auf Gruppen mit drei oder mehr Spielern und endet mit einem Unterrichtsplan, denn dies ist eines der besten Spiele, um Wahrscheinlichkeit zu lehren.
Die Auszahlungstabelle
Zähle einen Sieg als +1, eine Niederlage als -1 und ein Unentschieden als 0. Aus deiner Sicht (Zeilen sind deine Geste, Spalten die des Gegners):
| Du / Gegner | Stein | Papier | Schere |
|---|---|---|---|
| Stein | 0 | -1 | +1 |
| Papier | +1 | 0 | -1 |
| Schere | -1 | +1 | 0 |
Jede Zeile und jede Spalte enthält einmal +1, einmal -1 und einmal 0. Aus dieser Symmetrie folgt alles Weitere. Sie macht das Spiel auch zu einem Nullsummenspiel: Was du gewinnst, verliert dein Gegner.
Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses
Es gibt 3 x 3 = 9 gleich wahrscheinliche Paare von Gesten, wenn beide zufällig wählen. Drei sind unentschieden (Stein-Stein, Papier-Papier, Schere-Schere), drei sind Siege für dich und drei Niederlagen.
- P(Sieg) = 3/9 = 1/3
- P(Unentschieden) = 3/9 = 1/3
- P(Niederlage) = 3/9 = 1/3
Ohne Unentschieden gewinnst du genau die Hälfte der entschiedenen Runden.
Erwartungswert
Der Erwartungswert (EW) einer Geste ist die Summe jeder Auszahlung mal ihrer Wahrscheinlichkeit. Angenommen, dein Gegner zeigt Stein mit der Wahrscheinlichkeit r, Papier mit p und Schere mit s, wobei r + p + s = 1. Wenn du die Auszahlungstabelle zeilenweise liest:
- EW(Stein) = 0·r - 1·p + 1·s = s - p
- EW(Papier) = 1·r + 0·p - 1·s = r - s
- EW(Schere) = -1·r + 1·p + 0·s = p - r
Spielt dein Gegner r = p = s = 1/3, sind alle drei null. Nichts, was du tust, hilft oder schadet.
Setzt er stärker auf Stein, etwa r = 0,40, p = 0,35, s = 0,25, dann gilt EW(Papier) = 0,40 - 0,25 = +0,15 pro Geste. Über 100 Gesten sind das erwartete 15 Punkte. Genau deshalb zählen Gewohnheiten im echten Leben; unsere eigenen Daten zur Häufigkeit der Gesten zeigen, dass Menschen tatsächlich zu Stein neigen.
Warum je ein Drittel das Nash-Gleichgewicht ist
Ein Nash-Gleichgewicht ist ein Paar von Strategien, bei dem sich keiner verbessern kann, indem er nur seine eigene Strategie ändert.
Schau dir die EW-Formeln noch einmal an. Zeigt dein Gegner irgendeine Geste öfter als in 1/3 der Fälle, hat mindestens eine deiner Gesten einen positiven Erwartungswert, und du solltest zu ihr wechseln. Die einzige Mischung des Gegners, bei der du keine lohnende Antwort hast, ist r = p = s = 1/3. Wegen der Symmetrie gilt dasselbe für ihn. Das einzige Gleichgewicht ist also, dass beide gleichmäßig zufällig spielen, und der Wert des Spiels ist 0.
Zwei Folgen überraschen viele:
- Das Gleichgewicht gewinnt nicht. Es garantiert dir, gegen jeden ausgeglichen abzuschneiden. Es ist Verteidigung, kein Angriff.
- Um einen echten Menschen zu schlagen, musst du das Gleichgewicht verlassen. Du gewinnst nur, wenn du seine Neigung ausnutzt, und machst dich dabei selbst angreifbar. Unsere Seite zur Spieltheorie geht tiefer auf diesen Zielkonflikt ein.
Wie lange, bis jemand gewinnt?
Jede Runde zu zweit ist mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 entschieden. Die Zahl der Runden bis zur Entscheidung folgt einer geometrischen Verteilung, die erwartete Zahl der Runden ist also 1 / (2/3) = 1,5. Die Chance auf drei Unentschieden hintereinander ist (1/3)^3, etwa 3,7 %.
Unentschieden mit mehr als zwei Spielern
Wenn n Spieler alle zufällig zeigen, ist eine Runde nur entschieden, wenn genau zwei der drei Gesten vorkommen. Kommen alle drei vor oder zeigen alle dasselbe, gibt es keinen Gewinner. Für jedes bestimmte Paar von Gesten ist die Zahl der Ergebnisse, die beide und sonst nichts nutzen, 2^n - 2. Es gibt 3 Möglichkeiten, das Paar zu wählen, und insgesamt 3^n Ergebnisse. Also:
P(entschieden) = 3(2^n - 2) / 3^n, und P(Unentschieden) = 1 - 3(2^n - 2) / 3^n
| Spieler (n) | P(Unentschieden) |
|---|---|
| 2 | 3/9 ≈ 33,3 % |
| 3 | 9/27 ≈ 33,3 % |
| 4 | 39/81 ≈ 48,1 % |
| 5 | 153/243 ≈ 63,0 % |
| 6 | 543/729 ≈ 74,5 % |
| 10 | etwa 94,8 % |
Deshalb kommt eine große Gruppe, die gleichzeitig zeigt, selten zu einem Ergebnis. Bei Gruppen über drei spielt besser einen Turnierbaum mit Duellen. Unser kostenloses Tool für eigene Events macht genau das.
Wahrscheinlichkeit mit Schere Stein Papier unterrichten
Ich mag diese Stunde, weil die Lernenden das Spiel schon kennen und eine Meinung dazu haben. So gibt es eine Vorhersage, die man testen kann.
- Vorhersagen. Frag die Klasse, welche Geste am öftesten gewinnt. Notiere die Abstimmung.
- Aufzählen. Paarweise alle 9 Ergebnisse auflisten und jedes als Sieg, Niederlage oder Unentschieden markieren. Die Werte von 1/3 herleiten.
- Daten sammeln. Jedes Paar spielt 30 Runden und zählt Gesten und Ergebnisse. Die Daten der Klasse an der Tafel zusammenführen.
- Vergleichen. Liegt die beobachtete Siegquote nahe bei 1/3? Wird Stein zu oft gezeigt? Über Zufallsschwankung und echte Neigung sprechen.
- Erweitern. Ältere Lernende können den Erwartungswert gegen die tatsächlichen Häufigkeiten der Klasse berechnen und die beste Gegengeste finden.
- Gruppen. Gruppen mit 3, 4 und 5 Personen zeigen gleichzeitig und zählen, wie oft eine Runde entschieden ist. Dann mit der Tabelle oben vergleichen.
Die Übung behandelt Ergebnisräume, gleich wahrscheinliche Ergebnisse, relative Häufigkeit, Erwartungswert und in fortgeschrittenen Klassen die Idee eines Gleichgewichts. Die Regelseite ist ein praktisches Handout, falls jemand eine Auffrischung braucht.
FAQ
Wie stehen die Chancen, bei Schere Stein Papier zu gewinnen?
Gegen einen zufälligen Gegner: 1/3 Sieg, 1/3 Unentschieden, 1/3 Niederlage. Ohne Unentschieden 50 %.
Gibt es eine mathematisch beste Geste?
Keine einzelne Geste. Die beste Verteidigungsstrategie ist eine zufällige Drittel-Mischung, die im Erwartungswert nicht verlieren kann.
Wie hoch ist die Chance auf ein Unentschieden mit drei Spielern?
Genau 1/3, wie bei zwei. Ab vier Spielern werden Unentschieden schnell wahrscheinlicher als eine Entscheidung.
Ist Schere Stein Papier reines Glück?
Zwischen zwei perfekten Zufallsspielern ja. Zwischen Menschen nein, weil Menschen vorhersehbare Gewohnheiten haben, die du mit der Mathematik ausnutzen kannst.