石头剪刀布概率

基本概率：单手对决

面对一个完全随机的对手，石头剪刀布的每一手都只有三种结果，而且概率相等：

• 赢：三分之一（33.3%）
• 输：三分之一（33.3%）
• 平：三分之一（33.3%）

当双方都以 1/3 的概率独立选择每种手势时，共有九种等可能的有序组合。先手一方在其中三种组合中赢、三种中输、三种中平。在这个模型里，没有哪种手势在数学上更强。这个循环只要求每种手势赢一种、输一种；布赢石头并不取决于物理上是否说得通。

如果平局重打、只计下一手分出胜负的出手，对称性使每位选手赢下这次胜负的概率为 50%。这个条件结果假设双方都不会因为平局而改变策略。

比赛概率：三局两胜及更长赛制

竞技 RPS 几乎从不只打一手。只统计分出胜负的出手（平局重来），面对随机对手：

• 赢下三局两胜：50%。你要在输两局之前先赢两局
• 连赢 2 手：1/4（25%）
• 连赢 3 手：1/8（12.5%）
• 连赢 5 手：1/32（约 3%）
• 连赢 10 手：1/1,024（约 0.1%）

任何对称的多局制赛制，都会让实力相当、相互独立的选手停在 50/50。要为实力不等的对局建模，需假设每一手分出胜负的出手都有一个稳定的概率。如果一名选手独立地以 55% 的概率赢下每一手分出胜负的出手，二项模型给出的五局三胜胜率约为 59.3%，21 局制约为 67.9%。当出手结果相互依赖、或优势在比赛中发生变化时，这些数值就会改变；赛事赛制本身并不会创造实力。

石头剪刀布公平吗？

在上述对称收益以及独立、等概率随机的假设下，是公平的。每位选手拥有同样的选项和同样的期望收益，而各 1/3 的混合策略纳什均衡无法被利用。博弈论指南区分了这种期望与有限场次比赛中的确定结果。

当两人平局重打、以第一次分出胜负的结果为准时，等概率随机的打法给出与公平硬币相同的 50/50 胜率。法院和拍卖行曾在有据可查的决定中使用 RPS，但这段历史并不能证明参与者做到了完美随机。参见有出处的著名决定。

1/3 定律失效的地方：人

人类对局研究表明，独立等概率随机模型可能并不能完美描述实际情况。Wang 等人（2014）研究了 360 名大学生，他们在随机配对的六人小组中进行了 300 轮有奖励的对局，研究者用依结果而定的条件反应来建模群体层面的循环。Dyson 等人（2016）研究了 31 名本科生与一台等概率随机的电脑进行 225 轮对局，发现输和平之后换手更多。

这两项研究都没有确立一个通用的开局手势，也没有确立布的固定优势。它们的发现促使我们在RPS 策略中针对具体对手和具体情境进行检验，并在RPS 心理学中审慎对待人群、实验流程与不确定性。

面对已知等概率随机的对手，没有哪种手势占优。面对一个人，偏差是一个需要测量的假设，而不是可以直接假定存在某种规律的许可。

变体玩法中的概率

增加动作只有在明确的假设下才会改变平局概率。在石头剪刀布蜥蜴斯波克中，五种动作各自赢两种、输两种。如果双方独立且均匀地选择，25 种有序组合中有 5 种动作相同，因此平局概率为 1/5（20%）。对于任何n 种动作的变体，只有当双方的选择独立、均匀，且恰好在动作相同时才算平局，平局概率才是 1/n。

自己去验证这些概率

通过重复对局，把观察到的频率和转换与事先做出的预测进行比较。把练习、真人比赛和 AI 的结果分开，并在解读任何偏离之前报告分出胜负的出手数量。关于已定义的 WRPSA 汇总数据，见数据页面。