무작위로 내는 상대와 둘이서 가위바위보를 하면 1/3은 이기고, 1/3은 지고, 1/3은 비깁니다. 그래서 기대 점수는 정확히 0입니다. 길게 봤을 때 절대 질 수 없는 전략은 바위, 보, 가위를 각각 1/3 확률로 내는 것이고, 이 조합이 이 게임의 내시 균형입니다.
두 문장으로 답은 끝났습니다. 이 페이지의 나머지는 풀이 과정을 보여 주고, 세 명 이상의 그룹으로 넓혀 본 다음, 수업 계획으로 마무리합니다. 이 게임은 확률을 가르치기에 가장 좋은 게임 중 하나이기 때문입니다.
보상표
이기면 +1, 지면 -1, 비기면 0점으로 셉니다. 여러분의 입장에서 보면(행은 여러분의 손, 열은 상대의 손):
| 나 / 상대 | 바위 | 보 | 가위 |
|---|---|---|---|
| 바위 | 0 | -1 | +1 |
| 보 | +1 | 0 | -1 |
| 가위 | -1 | +1 | 0 |
모든 행과 열에 +1, -1, 0이 하나씩 있습니다. 이 대칭이 아래 모든 내용의 출발점입니다. 또 이 게임은 제로섬입니다. 여러분이 얻는 만큼 상대가 잃습니다.
각 결과의 확률
두 사람이 모두 무작위로 고르면, 똑같이 일어날 수 있는 손의 짝이 3 x 3 = 9가지입니다. 3가지는 비김(바위-바위, 보-보, 가위-가위), 3가지는 여러분의 승리, 3가지는 패배입니다.
- P(승) = 3/9 = 1/3
- P(무) = 3/9 = 1/3
- P(패) = 3/9 = 1/3
비긴 판을 빼면, 승부가 난 판의 정확히 절반을 이깁니다.
기댓값
한 손의 기댓값은 각 보상에 그 확률을 곱해 더한 것입니다. 상대가 바위를 r, 보를 p, 가위를 s의 확률로 낸다고 합시다(r + p + s = 1). 보상표를 가로로 읽으면:
- EV(바위) = 0·r - 1·p + 1·s = s - p
- EV(보) = 1·r + 0·p - 1·s = r - s
- EV(가위) = -1·r + 1·p + 0·s = p - r
상대가 r = p = s = 1/3로 내면 세 값 모두 0입니다. 무엇을 해도 도움도 손해도 없습니다.
상대가 바위 쪽으로 기울어 r = 0.40, p = 0.35, s = 0.25라면, EV(보) = 0.40 - 0.25 = 한 번에 +0.15입니다. 100번이면 기대 점수가 15점입니다. 실제 습관이 중요한 이유가 바로 이것입니다. 저희 손 빈도 데이터를 보면 사람들은 실제로 바위 쪽으로 기웁니다.
왜 각각 3분의 1이 내시 균형일까
내시 균형이란, 어느 쪽도 자기 전략만 바꿔서는 더 나아질 수 없는 전략의 짝입니다.
기댓값 공식을 다시 보세요. 상대가 어떤 손을 1/3보다 많이 내면, 여러분의 손 중 적어도 하나는 기댓값이 양수가 되고, 그쪽으로 옮겨 가야 합니다. 여러분에게 이득이 되는 대응을 남기지 않는 상대의 조합은 r = p = s = 1/3 하나뿐입니다. 대칭이므로 상대에게도 똑같이 적용됩니다. 그래서 유일한 균형은 두 사람 모두 고르게 무작위로 내는 것이고, 게임의 가치는 0입니다.
사람들이 놀라는 결과가 두 가지 있습니다.
- 균형은 이기지 않습니다. 누구를 상대하든 본전을 보장할 뿐입니다. 공격이 아니라 방어입니다.
- 실제 사람을 이기려면 균형을 벗어나야 합니다. 상대의 치우침을 공략해야만 이득을 볼 수 있는데, 그러면 여러분도 공략당할 수 있게 됩니다. 게임 이론 페이지에서 이 맞교환을 더 깊이 다룹니다.
승부가 나기까지 몇 판이 걸릴까?
둘이서 하는 한 판에서 승부가 날 확률은 2/3입니다. 승부가 날 때까지의 판 수는 기하분포를 따르므로, 기대되는 판 수는 1 / (2/3) = 1.5입니다. 세 번 연속 비길 확률은 (1/3)^3, 약 3.7%입니다.
세 명 이상일 때 비길 확률
n명이 모두 무작위로 내면, 세 가지 손 중 정확히 두 가지만 나와야 승부가 납니다. 세 가지가 모두 나오거나 모두 같은 손을 내면 승자가 없습니다. 특정한 두 손의 짝에 대해, 그 둘을 모두 쓰고 다른 것은 쓰지 않는 결과의 수는 2^n - 2입니다. 짝을 고르는 방법은 3가지, 전체 결과는 3^n가지입니다. 그러므로:
P(승부) = 3(2^n - 2) / 3^n, 그리고 P(비김) = 1 - 3(2^n - 2) / 3^n
| 인원 (n) | P(비김) |
|---|---|
| 2 | 3/9 ≈ 33.3% |
| 3 | 9/27 ≈ 33.3% |
| 4 | 39/81 ≈ 48.1% |
| 5 | 153/243 ≈ 63.0% |
| 6 | 543/729 ≈ 74.5% |
| 10 | 약 94.8% |
그래서 여럿이 한꺼번에 내면 좀처럼 결과가 나오지 않습니다. 세 명보다 많다면 일대일 대진표로 진행하세요. 무료 행사 개최 도구가 바로 그 일을 해 줍니다.
가위바위보로 확률 가르치기
저는 이 수업을 좋아합니다. 학생들이 이미 게임을 알고 나름의 생각도 있어서, 시험해 볼 예측이 생기기 때문입니다.
- 예측하기. 반 학생들에게 어떤 손이 가장 많이 이기는지 물어보고, 투표 결과를 적습니다.
- 나열하기. 짝끼리 9가지 결과를 모두 적고 승, 패, 무를 표시합니다. 1/3이라는 값을 이끌어 냅니다.
- 데이터 모으기. 각 짝이 30판을 하며 손과 결과를 셉니다. 반 전체의 데이터를 칠판에 모읍니다.
- 비교하기. 실제 승률이 1/3에 가까운가요? 바위가 너무 많이 나왔나요? 표본의 우연한 변동과 진짜 치우침의 차이를 이야기합니다.
- 넓히기. 고학년 학생들은 반의 실제 손 빈도를 바탕으로 기댓값을 계산하고 가장 좋은 대응 손을 찾을 수 있습니다.
- 그룹. 3명, 4명, 5명 그룹이 동시에 내게 하고 승부가 나는 비율을 센 다음, 위의 표와 비교합니다.
이 활동은 표본 공간, 똑같이 일어날 수 있는 결과, 상대도수, 기댓값, 그리고 심화반이라면 균형의 개념까지 다룹니다. 규칙을 다시 확인해야 한다면 규칙 페이지가 유인물로 쓰기 좋습니다.
자주 묻는 질문
가위바위보에서 이길 확률은 얼마인가요?
무작위 상대라면 1/3 승, 1/3 무, 1/3 패입니다. 비긴 판을 빼면 50%입니다.
수학적으로 가장 좋은 손이 있나요?
한 가지 손은 없습니다. 가장 좋은 방어 전략은 3분의 1씩 무작위로 섞는 것이고, 이것은 기댓값으로 지지 않습니다.
세 명일 때 비길 확률은 얼마인가요?
정확히 1/3로, 두 명일 때와 같습니다. 네 명부터는 비길 확률이 빠르게 절반을 넘어갑니다.
가위바위보는 순전히 운인가요?
완벽하게 무작위로 내는 두 사람 사이라면 그렇습니다. 사람끼리는 아닙니다. 사람에게는 예측 가능한 습관이 있고, 수학을 이용하면 그것을 공략할 수 있습니다.