축구 페널티킥은 현실판 가위바위보입니다. 키커와 골키퍼는 사실상 같은 순간에 방향을 고르고, 예측 가능한 패턴은 모두 공략당할 수 있습니다. 그래서 양쪽 모두에게 가장 좋은 전략은 무작위로 고르는 것입니다. 경제학자들은 수천 번의 프로 페널티킥으로 이를 검증했고, 선수들이 혼합 전략 게임 이론의 예측에 놀라울 만큼 가깝게 행동한다는 것을 발견했습니다.
두 게임의 구조가 같은 이유
가위바위보에서는 어느 쪽도 상대의 손에 반응할 수 없고, 모든 고정된 선택에는 대응 손이 있습니다. 균형은 손을 예측할 수 없게 3분의 1씩 섞는 것입니다. 전체 유도 과정은 가위바위보의 수학에서 볼 수 있습니다.
페널티킥도 비슷합니다. 공이 너무 빨리 골문에 도달해서 골키퍼가 기다렸다가 반응할 수 없으므로, 키커가 차는 순간 즈음에 한쪽으로 몸을 던져야 합니다. 키커가 늘 왼쪽으로 찬다면 골키퍼는 늘 왼쪽으로 날 것입니다. 골키퍼가 늘 오른쪽으로 난다면 키커는 늘 왼쪽으로 찰 것입니다. 어느 순수 전략도 살아남지 못하므로, 양쪽 모두 섞습니다.
가장 큰 차이는 페널티킥이 대칭적이지 않다는 것입니다. 대부분의 키커는 "자연스러운" 쪽(오른발잡이라면 보통 골키퍼의 오른쪽)으로 더 정확하게 차고, 가운데는 골키퍼가 제자리에 있으면 위험한 세 번째 선택입니다. 그래서 균형은 똑같이 나누는 것이 아닙니다. 이론은 더 미묘한 것을 예측합니다. 각 선수는 상대가 어느 쪽을 골라도 차이가 없도록 섞어야 합니다. 즉 키커가 어느 쪽으로 차든 득점률이 같아야 하고, 골키퍼가 어느 쪽으로 날든 선방률이 같아야 합니다.
연구가 발견한 것
Chiappori, Levitt, Groseclose (2002). Pierre-André Chiappori, Steven Levitt, Timothy Groseclose는 American Economic Review(92권 4호)에 "Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer"(선수들이 이질적일 때 혼합 전략 균형 검증하기: 축구 페널티킥의 경우)를 발표했습니다. 유럽 최상위 리그 경기의 페널티킥을 이용해, 키커와 골키퍼의 실력 차이를 허용하는 모델을 만들고 그 예측을 검증했습니다. 데이터는 키커가 가운데를 얼마나 자주 노려야 하는지 같은 직관에 반하는 예측을 포함해, 선수들이 이론의 예측대로 무작위로 고른다는 것과 대체로 일치했습니다.
Palacios-Huerta (2003). Ignacio Palacios-Huerta의 "Professionals Play Minimax"(프로는 미니맥스로 플레이한다, Review of Economic Studies 70권)는 유럽 프로 리그 경기의 페널티킥 1,417개를 분석했습니다. 그는 미니맥스 정리의 두 가지 함의를 검증했습니다. 각 선수가 하는 선택들 사이에서 득점률이 같아야 한다는 것, 그리고 각 선수의 선택이 순서상 독립적이어서 한 킥에서 다음 킥으로 감지할 수 있는 패턴이 없어야 한다는 것입니다. 프로 선수들은 두 검증을 모두 통과했습니다. 실험실에서 무작위로 고르라고 한 참가자들은 보통 실패하기 때문에 놀라운 결과입니다.
여러분의 가위바위보에 주는 의미
페널티킥의 교훈은 "무작위로 하라"가 아닙니다. 더 구체적입니다.
- 상대가 관찰할 수 있는 것에 대해 무작위로 하세요. 프로 키커들은 감지할 수 있는 방식으로 번갈아 차거나 연속으로 차지 않았습니다. 가볍게 가위바위보를 하는 사람들은 거의 항상 그렇게 합니다. 저희 손 패턴 데이터는 사람들이 직전 결과에 강하게 반응한다는 것을 보여 줍니다.
- 선택지가 불균등하면 섞는 비율도 불균등해야 합니다. 일부 변형처럼 손이 대칭적이지 않은 게임에서는, 올바른 비율이 반드시 각각 3분의 1이 아니라 상대가 어느 쪽을 골라도 차이가 없게 만드는 비율입니다.
- 공략하되, 조심하세요. 패턴을 발견했다면 그 반대로 기우세요. 여러분 자신이 예측 가능해지는 순간, 이점을 되돌려 준 것입니다.
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자주 묻는 질문
페널티 키커들은 정말 무작위로 차나요?
Chiappori, Levitt, Groseclose(2002)와 Palacios-Huerta(2003)의 증거에 따르면, 프로 선수들은 균형에 가까운 비율로 섞으며, 전체적으로 공략할 수 있는 순서 패턴이 없습니다.
페널티킥은 왜 가위바위보와 비슷한가요?
둘 다 동시에 선택하는 게임이고, 예측 가능한 모든 선택에 대응이 있기 때문에 안정적인 전략이 섞는 것입니다.
가장 좋은 페널티 전략은 양쪽으로 절반씩 차는 것인가요?
아닙니다. 키커는 한쪽으로 더 강하기 때문에 최적의 비율은 불균등합니다. 같아야 하는 것은 선택별 성공률입니다.