兩人對玩剪刀石頭布時，如果對手是隨機出拳，你有 1/3 的機率贏、1/3 輸、1/3 平手，所以你的期望得分剛好是零。長期來看無法被擊敗的策略，是石頭、布、剪刀各以 1/3 的機率出；這個組合就是這個遊戲的納許均衡。
兩句話就是完整的答案。這一頁接下來會把算式寫出來，再延伸到三人以上的團體，最後附上一份課堂教案，因為這是教機率最好用的遊戲之一。
得分表
贏記 +1，輸記 -1，平手記 0。從你的角度來看（橫列是你出的，直行是對方出的）：
| 你 / 對方 | 石頭 | 布 | 剪刀 |
|---|---|---|---|
| 石頭 | 0 | -1 | +1 |
| 布 | +1 | 0 | -1 |
| 剪刀 | -1 | +1 | 0 |
每一列和每一行都剛好有一個 +1、一個 -1 和一個 0。下面所有的結論都來自這種對稱性。它也讓這個遊戲成為零和遊戲：你得到多少，對手就失去多少。
每種結果的機率
如果雙方都隨機出拳，共有 3 x 3 = 9 種機率相同的組合。其中三種是平手（石頭對石頭、布對布、剪刀對剪刀），三種是你贏，三種是你輸。
- P(贏) = 3/9 = 1/3
- P(平手) = 3/9 = 1/3
- P(輸) = 3/9 = 1/3
不算平手的話，分出勝負的回合你剛好贏一半。
期望值
一次出拳的期望值，是每種得分乘以它的機率後加總。假設對手出石頭的機率是 r、布是 p、剪刀是 s，且 r + p + s = 1。沿著得分表橫向讀：
- EV(石頭) = 0·r - 1·p + 1·s = s - p
- EV(布) = 1·r + 0·p - 1·s = r - s
- EV(剪刀) = -1·r + 1·p + 0·s = p - r
如果對手出 r = p = s = 1/3，三個值都是零。你怎麼出都沒有幫助，也沒有損害。
如果對手偏愛石頭，例如 r = 0.40、p = 0.35、s = 0.25，那麼 EV(布) = 0.40 - 0.25 = 每次 +0.15。出 100 次，期望可以多拿 15 分。這正是現實中的習慣之所以重要的原因；我們自己的出拳頻率資料顯示，人們確實偏愛石頭。
為什麼各出三分之一是納許均衡
納許均衡是一組策略，在這組策略下，任何一方只改變自己的策略都無法變得更好。
再看一次期望值公式。只要對手出任何一種的比例超過 1/3，你至少有一種出拳的期望值是正的，你就應該往那邊調整。唯一讓你找不到有利回應的對手組合，就是 r = p = s = 1/3。根據對稱性，對方也一樣。所以唯一的均衡是雙方都平均隨機出拳，而這個遊戲的價值是 0。
有兩個結論常讓人意外：
- 均衡不會讓你贏。 它保證你對任何人都不賠不賺。它是防守，不是進攻。
- 想贏真人，就得離開均衡。 你只能靠利用對方的偏好來獲利，而這也讓你反過來可能被對方利用。我們的賽局理論頁面對這個取捨有更深入的說明。
要多久才分出勝負？
兩人對戰時，每一回合分出勝負的機率是 2/3。分出勝負前的回合數服從幾何分布，所以期望回合數是 1 / (2/3) = 1.5。連續三次平手的機率是 (1/3)^3，大約 3.7%。
超過兩人時的平手
n 位玩家都隨機出拳時，只有剛好出現三種出拳中的兩種，這一回合才分得出勝負。如果三種都出現，或是大家都出一樣的，就沒有贏家。對任何一組特定的兩種出拳來說，只用這兩種、且兩種都出現的結果數是 2^n - 2。選出這組兩種出拳有 3 種方式，總結果數是 3^n。所以：
P(分出勝負) = 3(2^n - 2) / 3^n，而 P(平手) = 1 - 3(2^n - 2) / 3^n
| 玩家人數 (n) | P(平手) |
|---|---|
| 2 | 3/9 ≈ 33.3% |
| 3 | 9/27 ≈ 33.3% |
| 4 | 39/81 ≈ 48.1% |
| 5 | 153/243 ≈ 63.0% |
| 6 | 543/729 ≈ 74.5% |
| 10 | 約 94.8% |
這就是為什麼一大群人想同時出拳時，很少能分出結果。超過三人的團體，改用一對一的淘汰賽比較好。我們免費的活動主辦工具正好能做到這件事。
用剪刀石頭布教機率
我喜歡這堂課，因為學生本來就會玩，而且對它有自己的看法，這讓你有一個預測可以驗證。
- 預測。 問全班哪一種出拳最常贏，記下投票結果。
- 列舉。 兩人一組，列出全部 9 種結果，並標記是贏、輸還是平手。推導出 1/3 這些數字。
- 收集資料。 每組玩 30 回合，統計出拳和結果。把全班的資料彙整在黑板上。
- 比較。 觀察到的勝率接近 1/3 嗎？石頭是不是出太多次了？討論抽樣誤差和真正的偏好有什麼不同。
- 延伸。 年紀較大的學生可以根據全班實際的出拳頻率計算期望值，找出最好的反制出拳。
- 團體。 讓 3 人、4 人和 5 人一組同時出拳，計算分出勝負的回合比例，再和上面的表格對照。
這個活動涵蓋樣本空間、機率相同的結果、相對次數、期望值，進階班還能談到均衡的概念。如果有人需要複習規則，規則頁面可以當作講義。
常見問題
剪刀石頭布贏的機率是多少？
對上隨機出拳的對手：1/3 贏、1/3 平手、1/3 輸。不算平手的話是 50%。
數學上有最好的出法嗎？
沒有單一最好的出拳。最好的防守策略是隨機各出三分之一，這樣期望上不會輸。
三個人玩時平手的機率是多少？
剛好 1/3，和兩個人時一樣。從四個人開始，平手很快就會比分出勝負更常見。
剪刀石頭布純粹靠運氣嗎？
如果雙方都是完美的隨機出拳者，是的。但如果是真人對戰就不是，因為人有可預測的習慣，而數學能讓你利用這些習慣。