賽局理論與剪刀石頭布

RPS：字面意義上的教科書範例

剪刀石頭布是一個有限、雙人、零和、同時行動的賽局。它小小的報酬矩陣，讓純策略、混合策略、最佳回應與均衡一目了然，而且不會把假設藏起來。

報酬矩陣（別緊張）

每一場 RPS 對局都能寫成一個 3x3 的方格。贏得 +1，輸得 -1，平手得 0：

這是一個對稱賽局：雙方有相同的選項與相同的報酬。它沒有純策略的納許均衡，換成白話就是：只要你有模式，就有人能利用它。

納許均衡：數學上完美、但一點也不好玩的策略

納許在 1950 年提出的存在性結果證明，每一個有限賽局都至少有一個混合策略均衡。對於標準的 RPS 報酬矩陣，求解無差異條件會得到唯一的混合策略：以各三分之一的機率獨立選擇石頭、布和剪刀。

這個策略面對任何對手的混合策略，都保證期望報酬為零。在有限的比賽中，實際結果仍會有所變動，有時差異很大。「無法被利用」描述的是在所述報酬模型下的期望值；並不代表玩家永遠不會輸。

重複對局實驗的發現

人類 RPS 的結果取決於實驗情境。兩項常被引用的研究，量測的是不同的受試族群與實驗程序：

• Wang 等人（2014）：360 名學生在隨機配對的六人小組中，進行了 300 回合有金錢誘因的對局。群體層級的循環，可以用一個依結果而定的留下與輪轉機率模型來解釋。
• Dyson 等人（2016）：31 名大學生與均等隨機的電腦進行了 225 回合。輸掉與平手之後換手的比例增加，但贏了之後留下的傾向並不具統計顯著性。

這些研究為對手模型提供了候選特徵，而不是普遍適用的公式。受試族群、實驗程序與限制，請見心理學回顧。

貝氏推論：更新判讀的一種模型

貝氏推論提供了一種有紀律的方法，用來更新你對對手出拳分布的不確定性。它需要明確的先驗、概似模型與觀察資料；只是在一手之後改變想法，並不自動等於貝氏分析：

• 均衡基準：在沒有可靠證據時，使用獨立的均等隨機。
• 更新：隨著可比較的出拳逐漸累積，估計這些觀察在各個相互競爭的對手模型下出現的可能性，並讓不確定性保持可見。

單一回合通常只帶有很少的資訊，而短期比賽的雜訊很大。強烈的先驗主張或複雜的模型，若沒有在之後的出拳上檢驗，就可能造成錯誤的信心。

以迭代推理為例

玩家可以推想對手會如何回應某個預測。以下的階梯只是舉例說明，並非經過量測的選手分級系統：

• 基準：以均等機率獨立選擇。
• 一層回應：預測對手一項有紀錄的傾向，並選擇剋制它的手勢。
• 第二層：考慮對手是否預料到你的反制，並會因此調整。
• 停止規則：避免毫無根據的「他知道我知道」推理鏈；當觀察無法區分各個模型時，回到基準。

更深的推想並不自動就是更好的預測。請優先採用在之後、未見過的出拳上表現良好的最簡單模型。

演化賽局理論中的 RPS

Sinervo 與 Lively（1996）以非遞移、依頻率而定的關係，為側斑鬣蜥三種雄性型態的策略建立模型。六年的野外觀察顯示，各型態的頻率呈現振盪，與模型的預測一致。

生物學家稱之為 RPS 動態，因為每一種策略都對某一種有優勢、對另一種處於劣勢。這是關於型態之間天擇的數學類比，並不是動物在玩人類手勢遊戲的證據，也不代表每一種競爭系統都遵循同樣的循環。

這對你來說代表什麼

賽局理論指出了安全的基準，以及其背後確切的假設。針對特定對手的策略，只有在偏離基準的程度被估計得夠準確、持續存在，並且在不忽略失誤的前提下經過檢驗時，才能提高期望值。