Dans une partie de pierre-feuille-ciseaux à deux joueurs contre un adversaire qui joue au hasard, vous gagnez 1/3 du temps, perdez 1/3 et faites égalité 1/3. Votre score attendu est donc exactement zéro. La stratégie impossible à battre sur le long terme consiste à jouer pierre, feuille et ciseaux chacun avec une probabilité de 1/3 : ce mélange est l'équilibre de Nash du jeu.
Voilà toute la réponse en deux phrases. La suite de cette page montre le calcul, l'étend aux groupes de trois joueurs ou plus, et se termine par un plan de cours, car c'est l'un des meilleurs jeux qui soient pour enseigner les probabilités.
Le tableau des gains
Comptez une victoire +1, une défaite -1 et une égalité 0. De votre point de vue (les lignes sont votre coup, les colonnes celui de l'adversaire) :
| Vous / Eux | Pierre | Feuille | Ciseaux |
|---|---|---|---|
| Pierre | 0 | -1 | +1 |
| Feuille | +1 | 0 | -1 |
| Ciseaux | -1 | +1 | 0 |
Chaque ligne et chaque colonne contient un +1, un -1 et un 0. Cette symétrie explique tout ce qui suit. Elle fait aussi du jeu un jeu à somme nulle : ce que vous gagnez, votre adversaire le perd.
La probabilité de chaque résultat
Si les deux joueurs choisissent au hasard, il y a 3 x 3 = 9 paires de coups également probables. Trois sont des égalités (pierre-pierre, feuille-feuille, ciseaux-ciseaux), trois sont des victoires pour vous et trois des défaites.
- P(victoire) = 3/9 = 1/3
- P(égalité) = 3/9 = 1/3
- P(défaite) = 3/9 = 1/3
Si l'on ignore les égalités, vous gagnez exactement la moitié des manches décidées.
L'espérance
L'espérance d'un coup est la somme de chaque gain multiplié par sa probabilité. Supposons que votre adversaire joue pierre avec une probabilité r, feuille avec p et ciseaux avec s, où r + p + s = 1. En lisant le tableau des gains :
- EV(pierre) = 0·r - 1·p + 1·s = s - p
- EV(feuille) = 1·r + 0·p - 1·s = r - s
- EV(ciseaux) = -1·r + 1·p + 0·s = p - r
Si votre adversaire joue r = p = s = 1/3, les trois valent zéro. Rien de ce que vous faites n'aide ni ne nuit.
S'il penche vers la pierre, par exemple r = 0,40, p = 0,35, s = 0,25, alors EV(feuille) = 0,40 - 0,25 = +0,15 par coup. Sur 100 coups, cela fait 15 points attendus. C'est exactement pour cela que les habitudes réelles comptent ; nos propres données sur la fréquence des coups montrent que les gens penchent bel et bien vers la pierre.
Pourquoi un tiers chacun est l'équilibre de Nash
Un équilibre de Nash est une paire de stratégies où aucun joueur ne peut faire mieux en changeant seulement sa propre stratégie.
Reprenez les formules d'espérance. Si votre adversaire joue une option plus d'1/3 du temps, au moins un de vos coups a une espérance positive, et vous devriez vous en rapprocher. Le seul mélange adverse qui ne vous laisse aucune réponse rentable est r = p = s = 1/3. Par symétrie, c'est pareil pour lui. L'unique équilibre est donc que les deux joueurs choisissent au hasard de façon égale, et la valeur du jeu est 0.
Deux conséquences surprennent souvent :
- L'équilibre ne gagne pas. Il vous garantit de faire jeu égal contre n'importe qui. C'est une défense, pas une attaque.
- Battre une vraie personne oblige à quitter l'équilibre. Vous ne gagnez qu'en exploitant ses biais, ce qui vous expose à être exploité à votre tour. Notre page sur la théorie des jeux approfondit ce compromis.
Combien de temps avant qu'il y ait un gagnant ?
Chaque manche à deux est décisive avec une probabilité de 2/3. Le nombre de manches avant une décision suit une loi géométrique, donc le nombre moyen de manches est 1 / (2/3) = 1,5. La probabilité de trois égalités d'affilée est (1/3)^3, soit environ 3,7 %.
Les égalités à plus de deux joueurs
Avec n joueurs qui jouent tous au hasard, une manche n'est décisive que si exactement deux des trois coups apparaissent. Si les trois apparaissent, ou si tout le monde joue la même chose, il n'y a pas de gagnant. Pour une paire de coups donnée, le nombre de résultats qui utilisent les deux et rien d'autre est 2^n - 2. Il y a 3 façons de choisir la paire et 3^n résultats au total. Donc :
P(décisive) = 3(2^n - 2) / 3^n, et P(égalité) = 1 - 3(2^n - 2) / 3^n
| Joueurs (n) | P(égalité) |
|---|---|
| 2 | 3/9 ≈ 33,3 % |
| 3 | 9/27 ≈ 33,3 % |
| 4 | 39/81 ≈ 48,1 % |
| 5 | 153/243 ≈ 63,0 % |
| 6 | 543/729 ≈ 74,5 % |
| 10 | environ 94,8 % |
Voilà pourquoi un grand groupe qui joue tous en même temps obtient rarement un résultat. Au-delà de trois joueurs, organisez plutôt un tableau de duels. Notre outil gratuit d'organisation d'événements fait exactement cela.
Enseigner les probabilités avec le pierre-feuille-ciseaux
J'aime cette leçon parce que les élèves connaissent déjà le jeu et ont un avis dessus, ce qui vous donne une prédiction à tester.
- Prédire. Demandez à la classe quel coup gagne le plus souvent. Notez le vote.
- Énumérer. Par deux, listez les 9 résultats et marquez chacun comme victoire, défaite ou égalité. Déduisez les chiffres de 1/3.
- Collecter des données. Chaque binôme joue 30 manches et note les coups et les résultats. Regroupez les données de la classe au tableau.
- Comparer. Le taux de victoire observé est-il proche de 1/3 ? La pierre est-elle surjouée ? Discutez de la variation d'échantillonnage face à un vrai biais.
- Approfondir. Les plus grands peuvent calculer l'espérance face aux fréquences réelles de la classe et trouver le meilleur contre-coup.
- Groupes. Faites jouer des groupes de 3, 4 et 5 en même temps, comptez combien de manches sont décisives, puis comparez avec le tableau ci-dessus.
L'activité couvre les univers, les issues équiprobables, la fréquence relative, l'espérance et, pour les classes avancées, la notion d'équilibre. La page des règles fait un bon document à distribuer si quelqu'un a besoin d'un rappel.
FAQ
Quelles sont les chances de gagner au pierre-feuille-ciseaux ?
Contre un adversaire aléatoire : 1/3 de victoires, 1/3 d'égalités, 1/3 de défaites. Sans compter les égalités, 50 %.
Existe-t-il un coup mathématiquement meilleur ?
Pas un coup unique. La meilleure stratégie défensive est un mélange aléatoire à un tiers chacun, qui ne peut pas perdre en moyenne.
Quelles sont les chances d'égalité à trois joueurs ?
Exactement 1/3, comme à deux. À partir de quatre joueurs, l'égalité devient vite plus probable qu'un résultat.
Le pierre-feuille-ciseaux est-il un pur jeu de hasard ?
Entre deux joueurs parfaitement aléatoires, oui. Entre humains, non, car les gens ont des habitudes prévisibles que les maths permettent d'exploiter.