Probabilités de Pierre Feuille Ciseaux

Les probabilités de base : un seul coup

Face à un adversaire parfaitement aléatoire, chaque coup de Pierre Feuille Ciseaux a exactement trois issues, toutes également probables :

• Gagner : 1 sur 3 (33,3 %)
• Perdre : 1 sur 3 (33,3 %)
• Match nul : 1 sur 3 (33,3 %)

Il existe neuf paires ordonnées également probables lorsque les deux joueurs choisissent chaque geste indépendamment avec une probabilité de 1/3. Le premier joueur gagne dans trois paires, perd dans trois et fait match nul dans trois. Aucun geste n'est mathématiquement plus fort dans ce modèle. Le cycle exige seulement que chaque geste en batte un et perde contre un ; le fait que la feuille batte la pierre ne dépend pas du réalisme physique.

Si les matchs nuls sont rejoués et que seul le prochain coup départagé compte, la symétrie donne à chaque joueur 50 % de chances de remporter ce coup décisif. Ce résultat conditionnel suppose qu'aucun joueur ne change de stratégie à cause d'un match nul.

Probabilités de match : au meilleur des trois, et au-delà

Le PFC de compétition ne se joue presque jamais en un seul coup. En ne comptant que les coups décisifs (matchs nuls rejoués), face à un adversaire aléatoire :

• Gagner un match au meilleur des 3 : 50 %. Il faut 2 victoires avant 2 défaites
• Gagner 2 coups d'affilée : 1 sur 4 (25 %)
• Gagner 3 coups d'affilée : 1 sur 8 (12,5 %)
• Gagner 5 coups d'affilée : 1 sur 32 (environ 3 %)
• Gagner 10 coups d'affilée : 1 sur 1 024 (environ 0,1 %)

Tout format symétrique au meilleur de N laisse deux joueurs égaux et indépendants à 50/50. Pour modéliser une confrontation inégale, supposez une probabilité stable pour chaque coup départagé. Si un joueur remporte indépendamment chaque coup départagé avec une probabilité de 55 %, le modèle binomial donne environ 59,3 % au meilleur des 5 et 67,9 % au meilleur des 21. Ces valeurs changent lorsque les issues des coups sont dépendantes ou que l'avantage évolue pendant le match ; le format de tournoi ne crée pas à lui seul le talent.

Pierre Feuille Ciseaux est-il équitable ?

Sous les hypothèses énoncées de gains symétriques et de jeu aléatoire égal et indépendant, oui. Chaque joueur dispose des mêmes options et du même gain espéré, et l'équilibre de Nash en stratégies mixtes à 1/3 ne peut pas être exploité. Le guide de théorie des jeux distingue cette espérance d'un résultat garanti sur un match de durée finie.

Lorsque deux personnes rejouent les matchs nuls et retiennent la première issue décisive, un jeu aléatoire égal donne la même probabilité de victoire de 50/50 qu'une pièce équilibrée. Des tribunaux et des maisons de ventes ont eu recours au PFC dans des décisions documentées, mais cet historique ne prouve pas que les participants ont joué parfaitement au hasard. Voyez les décisions célèbres sourcées.

Là où la règle du 1/3 se brise : les humains

Les études sur le jeu humain montrent que le modèle aléatoire égal et indépendant peut décrire imparfaitement la réalité. Wang et al. (2014) ont étudié 360 étudiants universitaires répartis en groupes de six, appariés au hasard, sur 300 manches rémunérées, et ont modélisé un cycle au niveau de la population à travers des réponses conditionnées par l'issue. Dyson et al. (2016) ont étudié 31 étudiants de premier cycle sur 225 manches contre un ordinateur jouant de façon aléatoire égale, et ont constaté davantage de changements après les défaites et les matchs nuls.

Aucune de ces études n'établit un coup d'ouverture universel ni un avantage fixe pour Feuille. Leurs résultats justifient des tests propres à chaque adversaire et à chaque contexte dans la stratégie au PFC, et un traitement rigoureux de la population, du protocole et de l'incertitude dans la psychologie du PFC.

Face à un adversaire dont on sait qu'il joue de façon aléatoire égale, aucun geste n'a d'avantage. Face à une personne, un biais est une hypothèse à mesurer, et non une permission de supposer un schéma.

Les probabilités dans les variantes

Ajouter des gestes ne change la probabilité de match nul que sous des hypothèses énoncées. Dans Pierre Feuille Ciseaux Lézard Spock, chacun des cinq gestes en bat deux et perd contre deux. Si les deux joueurs choisissent indépendamment et uniformément, des gestes identiques surviennent dans 5 des 25 paires ordonnées, la probabilité de match nul est donc de 1/5 (20 %). Pour toute variante à n gestes, 1/n n'est la probabilité de match nul que lorsque les deux choix sont indépendants et uniformes, et que le match nul survient exactement quand les gestes sont identiques.

Testez les probabilités vous-même

Servez-vous du jeu répété pour comparer les fréquences et transitions observées à une prédiction faite à l'avance. Séparez l'entraînement, la compétition humaine et les résultats contre l'IA, et indiquez le nombre de coups départagés avant d'interpréter un écart. Pour les agrégats WRPSA définis, voyez la page des statistiques.