पत्थर कागज़ कैंची का गणित: संभावना और नैश संतुलन

रैंडम विरोधी के ख़िलाफ़ दो खिलाड़ियों वाले पत्थर कागज़ कैंची में आप 1/3 बार जीतते हैं, 1/3 बार हारते हैं और 1/3 बार बराबरी करते हैं, इसलिए आपका अपेक्षित स्कोर ठीक शून्य है। लंबे समय में जिस रणनीति को हराया नहीं जा सकता, वह है पत्थर, कागज़ और कैंची हर एक को 1/3 संभावना से चलना; यही मिश्रण इस खेल का नैश संतुलन (Nash equilibrium) है।

दो वाक्यों में पूरा जवाब यही है। इस पेज का बाकी हिस्सा हल करके दिखाता है, इसे तीन या ज़्यादा खिलाड़ियों के समूहों तक बढ़ाता है, और कक्षा के लिए एक पाठ योजना पर ख़त्म होता है, क्योंकि संभावना पढ़ाने के लिए यह सबसे अच्छे खेलों में से एक है।

अंक तालिका

जीत को +1, हार को -1 और बराबरी को 0 गिनें। आपकी नज़र से (पंक्तियाँ आपकी चाल हैं, कॉलम उनकी):

आप / वे	पत्थर	कागज़	कैंची
पत्थर	0	-1	+1
कागज़	+1	0	-1
कैंची	-1	+1	0

हर पंक्ति और हर कॉलम में एक +1, एक -1 और एक 0 है। नीचे की हर बात इसी समानता से निकलती है। इससे यह खेल शून्य-योग (zero-sum) भी बनता है: आप जो भी पाते हैं, आपका विरोधी वही खोता है।

हर नतीजे की संभावना

अगर दोनों खिलाड़ी रैंडम चुनें, तो चालों के 3 x 3 = 9 बराबर संभावना वाले जोड़े हैं। तीन बराबरी हैं (पत्थर-पत्थर, कागज़-कागज़, कैंची-कैंची), तीन आपकी जीत और तीन हार।

P(जीत) = 3/9 = 1/3
P(बराबरी) = 3/9 = 1/3
P(हार) = 3/9 = 1/3

बराबरी को छोड़ दें, तो तय हुए राउंड में आप ठीक आधे जीतते हैं।

अपेक्षित मान

किसी चाल का अपेक्षित मान (expected value) हर अंक को उसकी संभावना से गुणा करके जोड़ने से मिलता है। मान लें आपका विरोधी r संभावना से पत्थर, p से कागज़ और s से कैंची चलता है, जहाँ r + p + s = 1। अंक तालिका में आड़ा पढ़ें:

EV(पत्थर) = 0·r - 1·p + 1·s = s - p
EV(कागज़) = 1·r + 0·p - 1·s = r - s
EV(कैंची) = -1·r + 1·p + 0·s = p - r

अगर आपका विरोधी r = p = s = 1/3 खेलता है, तो तीनों शून्य हैं। आप जो भी करें, न फ़ायदा होगा न नुक़सान।

अगर वह पत्थर की तरफ़ झुकता है, मान लें r = 0.40, p = 0.35, s = 0.25, तो EV(कागज़) = 0.40 - 0.25 = हर चाल पर +0.15। 100 चालों में यह अपेक्षित 15 अंक है। असली दुनिया की आदतें इसीलिए मायने रखती हैं; हमारा अपना चालों की गिनती का डेटा दिखाता है कि लोग सच में पत्थर की तरफ़ झुकते हैं।

एक-तिहाई हर चाल नैश संतुलन क्यों है

नैश संतुलन रणनीतियों का ऐसा जोड़ा है जिसमें कोई भी खिलाड़ी सिर्फ़ अपनी रणनीति बदलकर बेहतर नहीं कर सकता।

EV सूत्र फिर देखें। अगर आपका विरोधी कोई भी विकल्प 1/3 से ज़्यादा बार चलता है, तो आपकी कम से कम एक चाल का अपेक्षित मान धनात्मक होगा और आपको उसकी तरफ़ जाना चाहिए। विरोधी का इकलौता मिश्रण जो आपके लिए कोई फ़ायदेमंद जवाब नहीं छोड़ता, वह r = p = s = 1/3 है। समानता से यही बात उन पर भी लागू होती है। तो इकलौता संतुलन यह है कि दोनों खिलाड़ी बराबर रैंडम खेलें, और खेल का मान 0 है।

दो नतीजे लोगों को हैरान करते हैं:

संतुलन जीतता नहीं। यह आपको किसी के भी ख़िलाफ़ बराबर रहने की गारंटी देता है। यह बचाव है, हमला नहीं।
किसी असली इंसान को हराने के लिए संतुलन छोड़ना पड़ता है। आप सिर्फ़ उसके झुकाव का फ़ायदा उठाकर जीत सकते हैं, और इससे आप ख़ुद फ़ायदा उठाए जाने के लिए खुल जाते हैं। हमारा गेम थ्योरी पेज इस लेन-देन को और गहराई से समझाता है।

किसी के जीतने में कितना समय लगता है?

दो खिलाड़ियों का हर राउंड 2/3 संभावना से निर्णायक होता है। फ़ैसले तक के राउंड की गिनती ज्यामितीय बंटन (geometric distribution) के अनुसार चलती है, इसलिए अपेक्षित राउंड 1 / (2/3) = 1.5 हैं। लगातार तीन बराबरी की संभावना (1/3)^3 है, लगभग 3.7%।

दो से ज़्यादा खिलाड़ियों में बराबरी

n खिलाड़ी सब रैंडम चलें, तो राउंड तभी निर्णायक है जब तीन में से ठीक दो चालें दिखें। अगर तीनों दिखें, या सब एक ही चाल चलें, तो कोई विजेता नहीं। चालों के किसी भी ख़ास जोड़े के लिए, ऐसे नतीजे जो दोनों का इस्तेमाल करें और कुछ और नहीं, 2^n - 2 हैं। जोड़ा चुनने के 3 तरीक़े हैं और कुल 3^n नतीजे। तो:

P(निर्णायक) = 3(2^n - 2) / 3^n, और P(बराबरी) = 1 - 3(2^n - 2) / 3^n

खिलाड़ी (n)	P(बराबरी)
2	3/9 ≈ 33.3%
3	9/27 ≈ 33.3%
4	39/81 ≈ 48.1%
5	153/243 ≈ 63.0%
6	543/729 ≈ 74.5%
10	लगभग 94.8%

इसीलिए एक साथ चाल चलने की कोशिश करने वाले बड़े समूह को शायद ही कभी नतीजा मिलता है। तीन से बड़े समूहों के लिए आमने-सामने के खेलों का ब्रैकेट चलाएँ। हमारा मुफ़्त इवेंट होस्टिंग टूल ठीक यही करता है।

पत्थर कागज़ कैंची से संभावना पढ़ाना

मुझे यह पाठ पसंद है क्योंकि छात्र यह खेल पहले से जानते हैं और इसके बारे में उनकी राय होती है, जिससे आपको जाँचने के लिए एक अनुमान मिल जाता है।

अनुमान। कक्षा से पूछें कि कौन-सी चाल सबसे ज़्यादा जीतती है। वोट दर्ज करें।
गिनती। जोड़ियों में सभी 9 नतीजे लिखें और हर एक को जीत, हार या बराबरी चिह्नित करें। 1/3 वाले आँकड़े निकालें।
डेटा इकट्ठा करें। हर जोड़ी 30 राउंड खेले और चालें व नतीजे गिने। पूरी कक्षा का डेटा बोर्ड पर जोड़ें।
तुलना करें। क्या देखी गई जीत दर 1/3 के क़रीब है? क्या पत्थर ज़्यादा चला गया? नमूने के उतार-चढ़ाव और असली झुकाव के फ़र्क़ पर चर्चा करें।
आगे बढ़ें। बड़े छात्र कक्षा की असली चालों की गिनती के ख़िलाफ़ अपेक्षित मान निकाल सकते हैं और सबसे अच्छी जवाबी चाल ढूँढ सकते हैं।
समूह। 3, 4 और 5 के समूह एक साथ चाल चलें और गिनें कि राउंड कितनी बार निर्णायक होता है, फिर ऊपर की तालिका से मिलाएँ।

यह गतिविधि नमूना-स्थान, बराबर संभावना वाले नतीजे, सापेक्ष आवृत्ति, अपेक्षित मान और, ऊँची कक्षाओं के लिए, संतुलन का विचार सिखाती है। अगर किसी को याद ताज़ा करनी हो, तो नियम पेज काम का हैंडआउट है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

पत्थर कागज़ कैंची जीतने की संभावना क्या है?

रैंडम विरोधी के ख़िलाफ़: 1/3 जीत, 1/3 बराबरी, 1/3 हार। बराबरी छोड़कर, 50%।

क्या गणित के हिसाब से कोई सबसे अच्छी चाल है?

कोई एक चाल नहीं। सबसे अच्छी बचाव वाली रणनीति रैंडम एक-तिहाई मिश्रण है, जो अपेक्षा में हार नहीं सकती।

तीन खिलाड़ियों में बराबरी की संभावना क्या है?

ठीक 1/3, दो खिलाड़ियों जितनी ही। चार खिलाड़ियों से ऊपर बराबरी जल्दी ही न होने से ज़्यादा संभव हो जाती है।

क्या पत्थर कागज़ कैंची सिर्फ़ क़िस्मत है?

दो पूरी तरह रैंडम खिलाड़ियों के बीच, हाँ। इंसानों के बीच, नहीं, क्योंकि लोगों की आदतें अनुमान लगाने लायक होती हैं जिनका फ़ायदा गणित आपको उठाने देता है।