पत्थर कागज़ कैंची की संभाव्यता

बुनियादी संभावना: एक चाल

पूरी तरह रैंडम खेलने वाले प्रतिद्वंद्वी के ख़िलाफ़ पत्थर कागज़ कैंची की हर चाल के ठीक तीन नतीजे होते हैं, और तीनों की संभावना बराबर:

• जीत: 3 में 1 (33.3%)
• हार: 3 में 1 (33.3%)
• बराबरी: 3 में 1 (33.3%)

जब दोनों खिलाड़ी हर इशारे को स्वतंत्र रूप से 1/3 संभावना से चुनते हैं, तो नौ क्रमित जोड़े बराबर संभावित होते हैं। पहला खिलाड़ी तीन जोड़ों में जीतता है, तीन में हारता है और तीन में बराबरी होती है। इस मॉडल में कोई इशारा गणितीय रूप से ज़्यादा मज़बूत नहीं है। चक्र के लिए बस इतना ज़रूरी है कि हर इशारा एक को हराए और एक से हारे; कागज़ का पत्थर को हराना भौतिक यथार्थ पर निर्भर नहीं करता।

अगर बराबरी वाले राउंड दोबारा खेले जाते हैं और सिर्फ़ अगली निर्णायक चाल गिनी जाती है, तो सममिति से हर खिलाड़ी को उस निर्णय को जीतने की 50% संभावना मिलती है। यह सशर्त नतीजा मानता है कि बराबरी के कारण कोई भी खिलाड़ी अपनी रणनीति नहीं बदलता।

मैच की संभावनाएं: बेस्ट ऑफ़ थ्री और उससे आगे

प्रतिस्पर्धी RPS लगभग कभी एक चाल का नहीं होता। सिर्फ़ निर्णायक चालें गिनते हुए (बराबरी दोबारा खेलकर), रैंडम प्रतिद्वंद्वी के ख़िलाफ़:

• बेस्ट-ऑफ़-3 जीतना: 50%. दो हार से पहले दो जीत चाहिए
• लगातार 2 चालें जीतना: 4 में 1 (25%)
• लगातार 3 चालें जीतना: 8 में 1 (12.5%)
• लगातार 5 चालें जीतना: 32 में 1 (क़रीब 3%)
• लगातार 10 चालें जीतना: 1,024 में 1 (क़रीब 0.1%)

कोई भी सममित बेस्ट-ऑफ़ प्रारूप समान, स्वतंत्र खिलाड़ियों को 50/50 पर ही छोड़ता है। असमान मुक़ाबले का मॉडल बनाने के लिए हर निर्णायक चाल की एक स्थिर संभावना मानिए। अगर एक खिलाड़ी हर निर्णायक चाल स्वतंत्र रूप से 55% संभावना से जीतता है, तो द्विपद मॉडल बेस्ट-ऑफ़-5 के लिए लगभग 59.3% और बेस्ट-ऑफ़-21 के लिए 67.9% देता है। ये मान तब बदल जाते हैं जब चालों के नतीजे आपस में निर्भर हों या मैच के दौरान बढ़त बदल जाए; अकेला टूर्नामेंट प्रारूप कौशल पैदा नहीं करता।

क्या पत्थर कागज़ कैंची निष्पक्ष है?

बताए गए सममित भुगतान और स्वतंत्र, समान-यादृच्छिक मान्यताओं के तहत, हां। हर खिलाड़ी के पास वही विकल्प और वही अपेक्षित भुगतान है, और 1/3 मिश्रित-रणनीति नैश संतुलन का फ़ायदा नहीं उठाया जा सकता। गेम थ्योरी गाइड इस अपेक्षा को किसी सीमित मैच के गारंटीशुदा नतीजे से अलग करती है।

जब दो लोग बराबरी वाले राउंड दोबारा खेलते हैं और पहले निर्णायक नतीजे को मानते हैं, तो समान यादृच्छिक खेल निष्पक्ष सिक्के जैसी ही 50/50 जीत संभावना देता है। अदालतों और नीलामी घरों ने दर्ज फ़ैसलों में RPS का इस्तेमाल किया है, पर वह इतिहास यह साबित नहीं करता कि प्रतिभागियों ने पूरी तरह यादृच्छिक चुनाव किया। स्रोत-आधारित प्रसिद्ध फ़ैसले देखिए।

जहां 1/3 का नियम टूटता है: इंसान

इंसानी खेल पर हुए अध्ययन दिखाते हैं कि स्वतंत्र, समान-यादृच्छिक मॉडल एक अधूरा वर्णन हो सकता है। Wang et al. (2014) ने यादृच्छिक रूप से जोड़े गए छह-छह लोगों के समूहों में 360 विश्वविद्यालय छात्रों का 300 प्रोत्साहन-युक्त राउंड तक अध्ययन किया और नतीजे पर निर्भर प्रतिक्रियाओं के ज़रिए आबादी-स्तर के चक्र का मॉडल बनाया। Dyson et al. (2016) ने समान-यादृच्छिक कंप्यूटर के ख़िलाफ़ 225 राउंड तक 31 स्नातक छात्रों का अध्ययन किया और हार तथा बराबरी के बाद ज़्यादा बदलाव पाया।

कोई भी अध्ययन सार्वभौमिक पहली चाल या कागज़ के लिए कोई तय बढ़त स्थापित नहीं करता। इनके निष्कर्ष RPS रणनीति में प्रतिद्वंद्वी- और परिस्थिति-विशेष परीक्षणों की, और RPS मनोविज्ञान में आबादी, प्रक्रिया और अनिश्चितता के सावधान बर्ताव की वजह बनते हैं।

किसी ज्ञात समान-यादृच्छिक प्रतिद्वंद्वी के ख़िलाफ़ किसी इशारे को बढ़त नहीं है। किसी इंसान के ख़िलाफ़, झुकाव मापने लायक़ एक परिकल्पना है, किसी पैटर्न को मान लेने की इजाज़त नहीं।

दूसरे रूपों में संभावना

क्रियाएं जोड़ने से बराबरी की संभावना सिर्फ़ बताई गई मान्यताओं के तहत बदलती है। Rock Paper Scissors Lizard Spock में पांच में से हर क्रिया दो को हराती है और दो से हारती है। अगर दोनों खिलाड़ी स्वतंत्र और एकसमान रूप से चुनते हैं, तो 25 में से 5 क्रमित जोड़ों में क्रियाएं मेल खाती हैं, इसलिए बराबरी की संभावना 1/5 (20%) है। किसी भी n-क्रिया वेरिएंट के लिए, 1/n बराबरी की संभावना सिर्फ़ तभी है जब दोनों चुनाव स्वतंत्र और एकसमान हों, और बराबरी ठीक तभी हो जब क्रियाएं मेल खाएं।

संभावनाएं ख़ुद परखिए

पहले से की गई भविष्यवाणी से देखी गई आवृत्तियों और बदलावों की तुलना करने के लिए बार-बार खेलिए। अभ्यास, इंसानी प्रतियोगिता और AI नतीजों को अलग रखिए, और किसी विचलन की व्याख्या से पहले निर्णायक चालों की संख्या बताइए। परिभाषित WRPSA समुच्चयों के लिए आंकड़ों का पेज देखिए।