पत्थर कागज़ कैंची की संभाव्यता

बुनियादी संभावना: एक चाल

पूरी तरह रैंडम खेलने वाले प्रतिद्वंद्वी के ख़िलाफ़ पत्थर कागज़ कैंची की हर चाल के ठीक तीन नतीजे होते हैं, और तीनों की संभावना बराबर:

• जीत: 3 में 1 (33.3%)
• हार: 3 में 1 (33.3%)
• बराबरी: 3 में 1 (33.3%)

दो चालों के कुल नौ संभावित मेल होते हैं (3 × 3), और हर चाल इनमें से तीन जीतती है, तीन हारती है और तीन में बराबरी करती है। गणित के हिसाब से कोई चाल दूसरी से मज़बूत नहीं है — यही तो इस खेल का पूरा मक़सद है, और इसीलिए कागज़ का पत्थर को हराना भौतिक रूप से समझ आना ज़रूरी नहीं। डिज़ाइन को बस इतना चाहिए कि हर इशारा ठीक एक दूसरे इशारे को हराए।

अगर बराबरी को छोड़ दें (ज़्यादातर खेलों में वह दोबारा खेली जाती है), तो गणित सिक्का उछालने जितना रह जाता है: रैंडम प्रतिद्वंद्वी के ख़िलाफ़ किसी भी निर्णायक चाल में जीत की संभावना 50%।

मैच की संभावनाएं: बेस्ट ऑफ़ थ्री और उससे आगे

प्रतिस्पर्धी RPS लगभग कभी एक चाल का नहीं होता। सिर्फ़ निर्णायक चालें गिनते हुए (बराबरी दोबारा खेलकर), रैंडम प्रतिद्वंद्वी के ख़िलाफ़:

• बेस्ट-ऑफ़-3 जीतना: 50% — दो हार से पहले दो जीत चाहिए
• लगातार 2 चालें जीतना: 4 में 1 (25%)
• लगातार 3 चालें जीतना: 8 में 1 (12.5%)
• लगातार 5 चालें जीतना: 32 में 1 (क़रीब 3%)
• लगातार 10 चालें जीतना: 1,024 में 1 (क़रीब 0.1%)

कोई भी सममित मैच प्रारूप — बेस्ट-ऑफ़-3, बेस्ट-ऑफ़-5, बेस्ट-ऑफ़-101 — दो रैंडम खिलाड़ियों को ठीक 50/50 पर छोड़ता है। बराबर खिलाड़ियों के बीच लंबे प्रारूप संभावना नहीं बदलते; वे बस बेहतर खिलाड़ी को बेहतर साबित होने की ज़्यादा जगह देते हैं। अगर आप प्रतिद्वंद्वी को पढ़कर 55% चालें भी जीत लें, तो बेस्ट-ऑफ़-5 जीतने की संभावना क़रीब 59% हो जाती है, और बेस्ट-ऑफ़-21 में क़रीब 68%। कौशल गुणा होता जाता है। इसीलिए टूर्नामेंट प्रारूप कई-चाल वाले सेट इस्तेमाल करते हैं।

क्या पत्थर कागज़ कैंची निष्पक्ष है?

गणित के हिसाब से, हां — एकदम। खेल सममित है: दोनों खिलाड़ियों के पास वही तीन विकल्प और वही नतीजे हैं, और सबसे अच्छी रणनीति (हर चाल 1/3 संभावना से, पूरी तरह रैंडम) यह पक्का करती है कि कोई आपका फ़ायदा न उठा सके। गेम थ्योरी वाले इसे मिश्रित-रणनीति नैश संतुलन कहते हैं, और हमारी गेम थ्योरी गाइड इसे ठीक से खोलकर रखती है।

फ़ैसला लेने के औज़ार के तौर पर इसका मतलब है कि RPS सिक्का उछालने जितना ही निष्पक्ष है, और ऊपर से तीन-तरफ़ा फ़ैसलों के लिए एक तीसरा विकल्प भी। इसीलिए अदालतों, नीलामी घरों और खेल के मैदानों — सबने इससे बराबरी तोड़ी है। देखिए हमारा मशहूर RPS पलों का संग्रह।

जहां 1/3 का नियम टूटता है: इंसान

यही वह हिस्सा है जो प्रतिस्पर्धी RPS को असली खेल बनाता है: इंसान रैंडम होने में बेहद कमज़ोर हैं। झेजियांग विश्वविद्यालय में 2014 के एक क्षेत्रीय प्रयोग में 360 प्रतिभागियों ने 300-300 राउंड खेले, और पाया गया कि खिलाड़ी "जीत-पर-टिको, हार-पर-बदलो" का पैटर्न अपनाते हैं: जीतने वाले अपनी जीतने वाली चाल दोहराते हैं, जबकि हारने वाले बदल देते हैं — और रैंडम नहीं, बल्कि चक्र में आगे बढ़कर उसी चाल पर जो अभी उन्हें हराने वाली चाल को हरा देती।

इंसानी खेल पहली ही चाल में भी झुका होता है। पत्थर सबसे आम शुरुआत है, इसीलिए "पत्थर पर ज़्यादा टिकने वाले प्रतिद्वंद्वी के ख़िलाफ़ पहली चाल में कागज़" प्रतिस्पर्धी सलाह के सबसे पुराने टुकड़ों में से एक है। ऐसे पैटर्न नापे जा सकते हैं, उनका फ़ायदा उठाया जा सकता है, और RPS रणनीति तथा RPS मनोविज्ञान की पूरी बुनियाद यही है।

यानी: रैंडम प्रतिद्वंद्वी के ख़िलाफ़ आप 1/3 से बेहतर नहीं कर सकते। आपकी ख़ुशक़िस्मती से, रैंडम प्रतिद्वंद्वी होते ही नहीं।

दूसरे रूपों में संभावना

इशारे जोड़ने से बराबरी का गणित बदल जाता है। पत्थर कागज़ कैंची लिज़र्ड स्पॉक में पांचों में से हर इशारा दो को हराता है और दो से हारता है, इसलिए बराबरी की संभावना 1/3 (33.3%) से घटकर 1/5 (20%) रह जाती है — कम दोहराव, तेज़ खेल। यही तर्क RPS-7, RPS-15 और बाक़ी विस्तारित रूपों पर भी लागू होता है: n इशारों के साथ बराबरी 1/n बार होती है।

संभावनाएं ख़ुद परखिए

सिद्धांत एक बात है; किसी इंसानी प्रतिद्वंद्वी को अपनी आंखों के सामने जीत-पर-टिको, हार-पर-बदलो में ढहते देखना दूसरी। ऑनलाइन पत्थर कागज़ कैंची खेलिए — AI से अभ्यास कीजिए या असली लोगों से रैंक्ड मैच खेलिए — और देखिए कि असली खेल 1/3 से कितना दूर भटकता है। चालों के वितरण पर शोध के लिए हमारा आंकड़ों का सार देखें।