足球的罰球就是現實版的剪刀石頭布：罰球員和守門員幾乎在同一瞬間選邊，任何可預測的模式都會被利用，所以雙方最好的策略都是隨機選擇。經濟學家用數千次職業比賽的罰球驗證過這一點，發現球員的表現和混合策略賽局理論的預測驚人地接近。
為什麼這兩個遊戲結構相同
在剪刀石頭布中，雙方都無法根據對方的出拳做反應，而且每一種固定的選擇都有剋星。均衡就是以無法預測的方式混合出拳，各佔三分之一。完整推導請看剪刀石頭布的數學。
罰球也很類似。球飛到球門的速度太快，守門員來不及等著看再反應，所以大約在罰球員踢球的同時就必須決定撲哪一邊。如果某個罰球員總是踢左邊，守門員就會總是撲左邊。如果某個守門員總是撲右邊，罰球員就會總是踢左邊。任何單一的純策略都撐不住，所以雙方都會混合。
主要的差別在於罰球並不對稱。大多數罰球員踢向自己「習慣」的那一側比較準（右腳球員通常是守門員的右邊），而中間是第三個選項，如果守門員站著不動就很冒險。所以均衡不是平均分配。理論的預測更細膩：每位球員應該混合到讓對方無差異，也就是說，罰球員不管往哪邊踢，進球率都應該相同；守門員不管往哪邊撲，撲救率也都應該相同。
研究發現了什麼
Chiappori、Levitt 和 Groseclose（2002）。 Pierre-André Chiappori、Steven Levitt 和 Timothy Groseclose 在《American Economic Review》（美國經濟評論，第 92 卷第 4 期）發表了〈Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer〉（球員能力不同時的混合策略均衡檢驗：以足球罰球為例）。他們使用歐洲頂級聯賽的罰球資料，建立了一個允許罰球員和守門員能力不同的模型，並檢驗它的預測。資料大致符合球員照理論預測在隨機選擇，包括一些違反直覺的預測，例如罰球員應該多常踢向中間。
Palacios-Huerta（2003）。 Ignacio Palacios-Huerta 在《Review of Economic Studies》（經濟研究評論，第 70 卷）發表的〈Professionals Play Minimax〉（職業球員玩的是極小化極大），分析了歐洲職業聯賽的 1,417 次罰球。他檢驗了極小化極大定理的兩個推論：每位球員各種選擇的進球率應該相同，而且每位球員的選擇應該前後獨立，從一球到下一球看不出任何模式。職業球員兩項檢驗都通過了，這很驚人，因為在實驗室裡被要求隨機選擇的受試者通常都做不到。
這對你玩剪刀石頭布有什麼意義
罰球給我們的教訓不是「要隨機」，而是更具體的：
- 針對對手看得到的東西隨機。 職業罰球員不會以可察覺的方式輪流或連續出同一邊。一般玩剪刀石頭布的人幾乎都會。我們自己的出拳模式資料顯示，玩家對上一回合的結果反應很強烈。
- 選項不對等，混合比例也就不對等。 在出拳不對稱的玩法中，例如某些變化版，正確的混合是讓對手無差異的那一種，不一定是各三分之一。
- 要利用對方，但要小心。 如果你發現某個模式，就往反方向押。一旦你自己變得可以預測，優勢就又還給對方了。
我們的賽局理論頁面對混合策略有更深入的說明，你也可以透過免費線上玩來測試自己夠不夠隨機。
常見問題
罰球員真的會隨機選擇嗎？
Chiappori、Levitt 和 Groseclose（2002）以及 Palacios-Huerta（2003）的證據顯示，職業球員很接近均衡的混合，整體來看沒有可被利用的順序模式。
為什麼罰球像剪刀石頭布？
兩者都是同時行動的遊戲，每一種可預測的選擇都有剋星，所以穩定的策略就是混合。
最好的罰球策略是左右各踢一半嗎？
不是。因為罰球員某一側比較強，最佳的混合比例是不平均的。應該相等的是各種選擇的成功率。