剪刀石頭布機率

基本勝率：出一次拳

面對一個完全隨機的對手，每一次剪刀石頭布都剛好有三種結果，機率完全相等：

• 贏：三分之一（33.3%）
• 輸：三分之一（33.3%）
• 平手：三分之一（33.3%）

當雙方各自獨立、以 1/3 的機率選擇每種手勢時，共有九種機率相等的有序組合。第一位玩家在其中三種獲勝、三種落敗、三種平手。在這個模型中，沒有任何手勢在數學上比較強。這個循環唯一的要求是每種手勢都贏一種、輸一種；布贏石頭並不取決於物理上是否合理。

如果平手會重打、且只計算下一次分出勝負的出拳，對稱性讓每位玩家在那次分出勝負時都有 50% 的勝率。這個條件結果假設雙方都不會因為平手而改變策略。

比賽機率：三戰兩勝與其之後

競技 RPS 幾乎從來不是只出一次拳。只計算分出勝負的出拳（平手重來），面對隨機對手時：

• 贏下三戰兩勝：50% － 你必須在輸兩場之前先贏兩場
• 連贏 2 次：4 分之 1（25%）
• 連贏 3 次：8 分之 1（12.5%）
• 連贏 5 次：32 分之 1（約 3%）
• 連贏 10 次：1024 分之 1（約 0.1%）

任何對稱的多局制賽制，都讓實力相同且彼此獨立的玩家維持五五波。要模擬實力不對等的對戰，就假設每次分出勝負的出拳有一個穩定的機率。如果某位玩家獨立地以 55% 的機率贏下每一次分出勝負的出拳，二項模型給出的五戰三勝勝率約為 59.3%，21 戰制約為 67.9%。當出拳結果彼此相關，或優勢在比賽中改變時，這些數值也會改變；光是錦標賽賽制本身並不會創造實力。

剪刀石頭布公平嗎？

在所述的對稱報酬、以及雙方獨立且均等隨機的假設下，是的。每位玩家都有相同的選項與相同的期望報酬，而各三分之一的混合策略納許均衡無法被利用。賽局理論指南區分了這個期望值與有限場次比賽中保證會出現的結果。

當兩個人平手就重打、並採用第一個分出勝負的結果時，均等的隨機打法會給出與公平硬幣相同的五五波勝率。法院與拍賣行都曾在有紀錄的決策中使用 RPS，但這段歷史並不能證明參與者真的做到了完美的隨機。請見附出處的著名決策。

三分之一法則失效的地方：人類

針對人類打法的研究顯示，獨立且均等隨機的模型可能無法完美描述實際情況。Wang 等人（2014）研究了 360 位大學生，將他們隨機配對在六人小組中，進行 300 回合有獎勵的對局，並以依結果而定的反應來模擬群體的循環。Dyson 等人（2016）研究了 31 位大學部學生對戰均等隨機電腦 225 回合，發現在輸掉與平手之後換手的情形較多。

這兩份研究都沒有確立一個普遍的開局手勢，也沒有確立布有固定的優勢。它們的發現促使我們在 RPS 策略中針對特定對手與情境進行測試，並在 RPS 心理學中審慎處理群體、實驗程序與不確定性。

面對已知是均等隨機的對手，沒有任何手勢占優勢。面對真人時，偏誤是一個需要測量的假設，而不是讓你直接假定存在某種模式的許可。

變體玩法中的機率

增加動作只有在所述假設下才會改變平手機率。在剪刀石頭布蜥蜴史巴克中，五個動作每一個都贏兩個、輸兩個。如果雙方各自獨立且均勻地選擇，相同動作會出現在 25 種有序組合中的 5 種，因此平手機率為 1/5（20%）。對任何 n 個動作的變體而言，只有當兩個選擇彼此獨立、均勻，且恰好在動作相同時才算平手，平手機率才是 1/n。

自己來測測看

透過反覆對局，把觀察到的頻率與轉換，和事先做好的預測相比較。把練習、真人競賽與 AI 的結果分開，並在解讀任何偏差之前，先報告分出勝負的出拳次數。關於已定義的 WRPSA 彙總數據，請見統計頁面。