In una partita a due di sasso carta forbice contro un avversario casuale, vinci 1/3 delle volte, perdi 1/3 e pareggi 1/3, quindi il tuo punteggio atteso è esattamente zero. La strategia che non si può battere sul lungo periodo è giocare sasso, carta e forbici ciascuno con probabilità 1/3; questo mix è l'equilibrio di Nash del gioco.
Questa è tutta la risposta in due frasi. Il resto della pagina mostra i calcoli, li estende a gruppi di tre o più giocatori e si chiude con un piano di lezione per la classe, perché è uno dei giochi migliori che esistano per insegnare la probabilità.
La tabella dei punteggi
Conta una vittoria come +1, una sconfitta come -1 e un pareggio come 0. Dal tuo punto di vista (le righe sono la tua mossa, le colonne la sua):
| Tu / Lui | Sasso | Carta | Forbici |
|---|---|---|---|
| Sasso | 0 | -1 | +1 |
| Carta | +1 | 0 | -1 |
| Forbici | -1 | +1 | 0 |
Ogni riga e ogni colonna contiene un +1, un -1 e uno 0. Da questa simmetria nasce tutto quello che segue. Rende anche il gioco a somma zero: quello che guadagni tu, lo perde il tuo avversario.
Probabilità di ogni risultato
Se entrambi i giocatori scelgono a caso, ci sono 3 x 3 = 9 coppie di mosse ugualmente probabili. Tre sono pareggi (sasso-sasso, carta-carta, forbici-forbici), tre sono vittorie per te e tre sono sconfitte.
- P(vittoria) = 3/9 = 1/3
- P(pareggio) = 3/9 = 1/3
- P(sconfitta) = 3/9 = 1/3
Senza contare i pareggi, vinci esattamente metà dei turni decisi.
Valore atteso
Il valore atteso di una mossa è la somma di ogni punteggio moltiplicato per la sua probabilità. Supponiamo che il tuo avversario giochi sasso con probabilità r, carta con p e forbici con s, dove r + p + s = 1. Leggendo la tabella riga per riga:
- VA(sasso) = 0·r - 1·p + 1·s = s - p
- VA(carta) = 1·r + 0·p - 1·s = r - s
- VA(forbici) = -1·r + 1·p + 0·s = p - r
Se il tuo avversario gioca r = p = s = 1/3, tutti e tre valgono zero. Niente di quello che fai aiuta o danneggia.
Se invece preferisce il sasso, per esempio r = 0,40, p = 0,35, s = 0,25, allora VA(carta) = 0,40 - 0,25 = +0,15 a mossa. Su 100 mosse sono 15 punti attesi. È proprio per questo che le abitudini reali contano; i nostri dati sulla frequenza delle mosse mostrano che la gente preferisce davvero il sasso.
Perché un terzo ciascuno è l'equilibrio di Nash
Un equilibrio di Nash è una coppia di strategie in cui nessun giocatore può migliorare cambiando solo la propria strategia.
Riguarda le formule del valore atteso. Se il tuo avversario gioca una qualsiasi opzione più di 1/3 delle volte, almeno una delle tue mosse ha un valore atteso positivo, e dovresti spostarti verso quella. L'unico mix dell'avversario che non ti lascia nessuna risposta vantaggiosa è r = p = s = 1/3. Per simmetria vale lo stesso per lui. Quindi l'unico equilibrio è che entrambi i giocatori scelgano a caso in modo uniforme, e il valore del gioco è 0.
Due conseguenze sorprendono molti:
- L'equilibrio non vince. Ti garantisce di andare in pari contro chiunque. È una difesa, non un attacco.
- Per battere una persona reale devi uscire dall'equilibrio. Guadagni solo sfruttando le sue tendenze, e questo ti espone a tua volta a essere sfruttato. La nostra pagina sulla teoria dei giochi approfondisce questo compromesso.
Quanto ci vuole perché qualcuno vinca?
Ogni turno a due giocatori è decisivo con probabilità 2/3. Il numero di turni fino a una decisione segue una distribuzione geometrica, quindi il numero atteso di turni è 1 / (2/3) = 1,5. La probabilità di tre pareggi di fila è (1/3)^3, circa il 3,7%.
Pareggi con più di due giocatori
Con n giocatori che scelgono tutti a caso, un turno è decisivo solo se compaiono esattamente due delle tre mosse. Se compaiono tutte e tre, o se tutti giocano la stessa, non c'è un vincitore. Per ogni coppia di mosse, il numero di risultati che usano entrambe e nient'altro è 2^n - 2. Ci sono 3 modi di scegliere la coppia e 3^n risultati totali. Quindi:
P(decisivo) = 3(2^n - 2) / 3^n, e P(pareggio) = 1 - 3(2^n - 2) / 3^n
| Giocatori (n) | P(pareggio) |
|---|---|
| 2 | 3/9 ≈ 33,3% |
| 3 | 9/27 ≈ 33,3% |
| 4 | 39/81 ≈ 48,1% |
| 5 | 153/243 ≈ 63,0% |
| 6 | 543/729 ≈ 74,5% |
| 10 | circa 94,8% |
Ecco perché un gruppo numeroso che prova a giocare tutto insieme ottiene raramente un risultato. Per gruppi di più di tre persone, organizza invece un tabellone di sfide uno contro uno. Il nostro strumento gratuito per ospitare eventi fa esattamente questo.
Insegnare la probabilità con sasso carta forbice
Mi piace questa lezione perché gli studenti conoscono già il gioco e hanno le loro opinioni, e questo ti dà una previsione da verificare.
- Prevedere. Chiedi alla classe quale mossa vince di più. Registra il voto.
- Elencare. A coppie, elencate tutti i 9 risultati e segnate ognuno come vittoria, sconfitta o pareggio. Ricavate le probabilità di 1/3.
- Raccogliere dati. Ogni coppia gioca 30 turni e segna mosse e risultati. Mettete insieme i dati della classe alla lavagna.
- Confrontare. La percentuale di vittorie osservata è vicina a 1/3? Il sasso è giocato troppo? Discutete la differenza tra variazione casuale e vera tendenza.
- Approfondire. Gli studenti più grandi possono calcolare il valore atteso rispetto alle frequenze reali della classe e trovare la contromossa migliore.
- Gruppi. Fate giocare insieme gruppi di 3, 4 e 5 persone e contate quanto spesso un turno è decisivo, poi confrontate con la tabella sopra.
L'attività copre spazi campionari, risultati ugualmente probabili, frequenza relativa, valore atteso e, per le classi più avanzate, l'idea di equilibrio. La pagina delle regole è una comoda scheda da distribuire se qualcuno ha bisogno di un ripasso.
Domande frequenti
Quali sono le probabilità di vincere a sasso carta forbice?
Contro un avversario casuale: 1/3 vittoria, 1/3 pareggio, 1/3 sconfitta. Senza contare i pareggi, 50%.
Esiste una mossa matematicamente migliore?
Nessuna mossa singola. La migliore strategia difensiva è un mix casuale di un terzo ciascuno, che in media non può perdere.
Quali sono le probabilità di pareggio con tre giocatori?
Esattamente 1/3, come con due. Da quattro giocatori in su, il pareggio diventa presto più probabile del contrario.
Sasso carta forbice è pura fortuna?
Tra due giocatori perfettamente casuali, sì. Tra esseri umani, no, perché le persone hanno abitudini prevedibili che la matematica ti permette di sfruttare.