ランダムに手を出す相手と2人でじゃんけんをすると、勝つ確率は1/3、負ける確率は1/3、あいこは1/3です。つまり、得点の期待値はちょうどゼロになります。長い目で見て絶対に負けない戦略は、グー・パー・チョキをそれぞれ1/3の確率で出すことです。この組み合わせが、じゃんけんのナッシュ均衡です。
答えはこの2文で全部です。このページでは残りの部分で計算の中身を示し、3人以上のグループにも広げ、最後に授業で使える指導案を紹介します。じゃんけんは、確率を教えるのにこれ以上ないほど向いたゲームだからです。
得点表
勝ちを+1、負けを-1、あいこを0とします。あなたから見た表です（行があなたの手、列が相手の手）。
| あなた / 相手 | グー | パー | チョキ |
|---|---|---|---|
| グー | 0 | -1 | +1 |
| パー | +1 | 0 | -1 |
| チョキ | -1 | +1 | 0 |
どの行にも、どの列にも、+1と-1と0が1つずつ入っています。この対称性が、以下のすべての出発点です。また、このゲームはゼロサムでもあります。あなたが得た分だけ、相手が失います。
それぞれの結果の確率
2人ともランダムに手を選ぶなら、手の組み合わせは3 x 3 = 9通りで、どれも同じくらい起こりやすいです。そのうち3通りがあいこ（グー同士、パー同士、チョキ同士）、3通りがあなたの勝ち、3通りが負けです。
- P(勝ち) = 3/9 = 1/3
- P(あいこ) = 3/9 = 1/3
- P(負け) = 3/9 = 1/3
あいこを除けば、決着がついた回のちょうど半分に勝ちます。
期待値
1回の手の期待値は、それぞれの得点にその確率をかけて足したものです。相手がグーを確率r、パーを確率p、チョキを確率sで出すとします（r + p + s = 1）。得点表を横に読むと、次のようになります。
- EV(グー) = 0·r - 1·p + 1·s = s - p
- EV(パー) = 1·r + 0·p - 1·s = r - s
- EV(チョキ) = -1·r + 1·p + 0·s = p - r
相手がr = p = s = 1/3で出すなら、3つとも0です。あなたが何をしても、得も損もしません。
相手がグーに偏っていて、たとえばr = 0.40、p = 0.35、s = 0.25なら、EV(パー) = 0.40 - 0.25 = 1回あたり+0.15です。100回やれば、期待値で15点になります。現実の人のクセが大事なのは、まさにこのためです。私たちの手の出現頻度データでも、人はグーに偏りがちだとわかっています。
なぜ3分の1ずつがナッシュ均衡なのか
ナッシュ均衡とは、どちらのプレイヤーも自分の戦略だけを変えても得をしない、という戦略の組のことです。
もう一度、期待値の式を見てください。相手がどれか1つの手を1/3より多く出すなら、あなたの手のうち少なくとも1つは期待値がプラスになり、その手に寄せるべきです。あなたに得をする対応が1つも残らない相手の出し方は、r = p = s = 1/3だけです。対称性から、相手にとっても同じことが言えます。ですから、ただ1つの均衡は、両者が均等にランダムに出すことで、ゲームの値は0です。
ここから、多くの人が驚く結論が2つ出てきます。
- 均衡戦略では勝てません。 誰が相手でも、損得ゼロになることを保証するだけです。これは守りであって、攻めではありません。
- 実際の人に勝つには、均衡から離れる必要があります。 相手の偏りを突いたときにだけ得をしますが、そうすると今度は自分が突かれるすきができます。この駆け引きについては、ゲーム理論のページでさらに詳しく説明しています。
決着がつくまで何回かかる？
2人のじゃんけんでは、1回ごとに2/3の確率で決着がつきます。決着までの回数は幾何分布に従うので、平均回数は1 / (2/3) = 1.5回です。3回続けてあいこになる確率は(1/3)^3で、約3.7%です。
3人以上のときのあいこ
n人が全員ランダムに手を出すとき、決着がつくのは、3種類の手のうちちょうど2種類が出たときだけです。3種類すべてが出たり、全員が同じ手だったりすると、勝者は決まりません。ある2種類の手について、その2つを両方使い、ほかを使わない結果の数は2^n - 2通りです。2種類の選び方は3通り、全体の結果は3^n通りです。したがって、
P(決着) = 3(2^n - 2) / 3^n、P(あいこ) = 1 - 3(2^n - 2) / 3^n
| 人数 (n) | P(あいこ) |
|---|---|
| 2 | 3/9 ≈ 33.3% |
| 3 | 9/27 ≈ 33.3% |
| 4 | 39/81 ≈ 48.1% |
| 5 | 153/243 ≈ 63.0% |
| 6 | 543/729 ≈ 74.5% |
| 10 | 約94.8% |
大人数で一斉にじゃんけんをしても、なかなか決まらないのはこのためです。4人以上なら、1対1の勝ち抜き戦にしましょう。無料のイベント開催ツールなら、それがそのままできます。
じゃんけんで確率を教える
私がこの授業を気に入っているのは、生徒がもうゲームを知っていて、自分なりの意見を持っているからです。そのおかげで、確かめるべき予想が自然に生まれます。
- 予想する。 どの手がいちばん勝つか、クラスに聞いて投票結果を記録します。
- 書き出す。 ペアで9通りの結果をすべて書き出し、勝ち・負け・あいこに印をつけます。そこから1/3という数字を導きます。
- データを集める。 各ペアが30回対戦し、出した手と結果を数えます。クラス全体のデータを黒板にまとめます。
- 比べる。 実際の勝率は1/3に近いでしょうか。グーが出すぎていないでしょうか。たまたまのばらつきと、本当の偏りの違いを話し合います。
- 発展させる。 上の学年なら、クラスで実際に出た手の頻度に対して期待値を計算し、いちばん良い対抗手を見つけられます。
- グループでやる。 3人、4人、5人のグループで一斉に手を出し、決着がつく割合を数えて、上の表と比べます。
この活動では、標本空間、同様に確からしい結果、相対度数、期待値、そして上級クラスなら均衡という考え方まで学べます。ルールをおさらいしたい人には、ルールのページが配布資料として便利です。
よくある質問
じゃんけんで勝つ確率は？
ランダムな相手なら、勝ち1/3、あいこ1/3、負け1/3です。あいこを除けば50%です。
数学的にいちばん良い手はありますか？
特定の1つの手はありません。守りとして最善なのは、3つを1/3ずつランダムに出すことで、期待値の上では負けません。
3人でやるとき、あいこになる確率は？
ちょうど1/3で、2人のときと同じです。4人以上になると、あいこになるほうが決着より起こりやすくなっていきます。
じゃんけんはただの運ですか？
完璧にランダムに出す2人の間なら、そうです。でも人間同士なら違います。人には読みやすいクセがあり、数学を使えばそこを突けるからです。