ゲーム理論とじゃんけん

じゃんけんは文字どおり教科書的な例

じゃんけんは有限・2人・ゼロサム・同時手番のゲームです。利得行列が小さいため、前提を隠すことなく、純粋戦略、混合戦略、最適応答、均衡を見て取ることができます。

利得行列（慌てないでください）

じゃんけんの対戦はすべて3×3の表で書けます。勝ちは+1、負けは-1、あいこは0です。

これは対称ゲームです。両者の選択肢も利得も同じ。純粋戦略のナッシュ均衡は存在しません。難しく言いましたが、要するに。パターンがあれば、誰かに突かれるということです。

ナッシュ均衡：数学的に完璧で、まったく面白くない戦略

ナッシュが1950年に示した存在定理によれば、有限のゲームには混合戦略の均衡が少なくとも1つ存在します。標準的なじゃんけんの利得行列で無差別条件を解くと、唯一の混合戦略が得られます。グー、パー、チョキをそれぞれ1/3の確率で独立に選ぶことです。

この戦略は、相手がどんな混合戦略をとっても期待利得がゼロになることを保証します。それでも有限の試合では、実際の結果はばらつき、ときには大きくぶれます。「突かれない」とは、述べた利得モデルのもとでの期待値のことであり、決して負けないという意味ではありません。

繰り返しプレイの実験で分かったこと

人間のじゃんけんの結果は実験の条件に左右されます。よく引用される2つの研究は、異なる対象者と手順で測定しています。

• Wang ほか（2014年）：学生360人が、ランダムに組み合わされる6人グループで、金銭的な報酬付きの300ラウンドをプレイしました。集団全体の循環は、結果に応じて同じ手を続ける確率と回す確率のモデルで説明されました。
• Dyson ほか（2016年）：学部生31人が、均等にランダムなコンピューターを相手に225ラウンドをプレイしました。負けやあいこの後には手を変える割合が増えましたが、勝った後に同じ手を続ける傾向は統計的に有意ではありませんでした。

これらの研究は、相手モデルの候補となる特徴を与えるものであって、普遍的な必勝法ではありません。対象者、手順、限界については心理学のレビューをご覧ください。

ベイズ的な考え方：読みを更新するためのモデル

ベイズ推定は、相手の手の分布についての不確かさを筋道立てて更新する方法です。明示した事前分布、尤度モデル、観察データが必要です。1手ごとに考えを変えるだけでは、自動的にベイズ分析になるわけではありません。

• 均衡という基準：信頼できる根拠がなければ、互いに独立した均等なランダム化を使います。
• 更新：同じ条件の手が積み重なるにつれて、競合する相手モデルのもとで観察結果がどれくらい起こりやすいかを推定し、不確かさを見える形で残しておきます。

1ラウンドから得られる情報はたいてい少なく、短い試合にはばらつきが大きく出ます。強い事前の主張や複雑なモデルは、その後の手で検証しない限り、誤った自信を生むことがあります。

例としての重ねた読み

プレイヤーは、自分の予測に相手がどう反応するかを考えることができます。次の段階は説明のための例であり、競技者を測定したランク付けではありません。

• 基準：均等な確率で独立に選ぶ。
• 一段の対応：記録のある相手の傾向を予測し、それに勝つ手を選ぶ。
• 二段目：相手がその対策を予想して調整してくるかどうかを考える。
• 打ち切りのルール：「こちらが知っていることを相手も知っている」という根拠のない連鎖は避け、観察からモデルを区別できないときは基準に戻る。

筋書きが深ければ予測が良くなるわけではありません。まだ見ていないその後の手で成果を出す、もっとも単純なモデルを選びましょう。

進化ゲーム理論のなかのじゃんけん

Sinervo と Lively（1996年）は、サイドブロッチトカゲのオスの3つの型の戦略を、非推移的で頻度に依存する関係としてモデル化しました。6年間の野外観察では、型の頻度がモデルの予測と一致する形で振動していました。

生物学者がこれをじゃんけん的な力学と呼ぶのは、各戦略がある戦略に対して有利で、別の戦略に対して不利だからです。これは型の間の淘汰についての数学的な類推であり、動物が人間の手遊びをしている証拠でも、あらゆる競争のしくみが同じ循環に従う証拠でもありません。

これがあなたにとって意味すること

ゲーム理論は、安全な基準と、その背後にある正確な前提を示します。相手に合わせた戦略が期待値を高められるのは、その基準からの外れを十分な精度で推定でき、それが持続し、外れを無視せずに検証された場合だけです。