サッカーのPKは、現実の世界のじゃんけんです。キッカーとゴールキーパーはほぼ同時に左右を選び、読まれやすいパターンがあればすぐに突かれます。だから両者にとって最善の戦略は、ランダムに選ぶことです。経済学者は何千本ものプロのPKでこれを検証し、選手たちが混合戦略のゲーム理論の予測に驚くほど近い行動をとっていることを見つけました。
2つのゲームが同じ仕組みである理由
じゃんけんでは、どちらも相手の手を見てから反応することはできず、どの手にも必ず勝てる手があります。均衡は、手を予測できないように混ぜること、つまりそれぞれ3分の1ずつです。くわしい導き方はじゃんけんの数学で読めます。
PKも似ています。ボールがゴールに届くのは速すぎて、キーパーは待ってから反応できません。だからキーパーは、キッカーが蹴るのとほぼ同時にどちらかへ飛ぶと決めなければなりません。キッカーがいつも左に蹴るなら、キーパーはいつも左に飛びます。キーパーがいつも右に飛ぶなら、キッカーはいつも左に蹴ります。どちらの決め打ちも通用しないので、両者とも混ぜるのです。
大きなちがいは、PKが左右対称ではないことです。多くのキッカーは「得意な側」（右利きなら、たいていキーパーから見て右）のほうが正確で、真ん中という3つ目の選択肢もあります。これはキーパーが動かなければ危険です。そのため均衡は半々にはなりません。理論が予測するのはもっと繊細なことです。各選手は、相手にとってどちらを選んでも同じになるように混ぜるべきです。つまり、キッカーの得点率はどちらに蹴っても同じ、キーパーのセーブ率はどちらに飛んでも同じになるはずです。
研究でわかったこと
Chiappori、Levitt、Groseclose（2002年）。 Pierre-André Chiappori、Steven Levitt、Timothy Grosecloseは、American Economic Review（第92巻第4号）に「Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer（選手の実力が異なる場合の混合戦略均衡の検証：サッカーのPKの例）」を発表しました。ヨーロッパのトップリーグの試合のPKを使い、キッカーとキーパーの実力がちがうことも考えたモデルを作って、その予測を検証しました。データは、選手が理論どおりにランダムに選んでいることとおおむね一致しました。キッカーがどのくらいの頻度で真ん中を狙うべきかなど、直感に反する予測も含めてです。
Palacios-Huerta（2003年）。 Ignacio Palacios-Huertaの「Professionals Play Minimax（プロはミニマックスでプレーする）」（Review of Economic Studies、第70巻）は、ヨーロッパのプロリーグの試合から1,417本のPKを分析しました。彼はミニマックス定理から導かれる2つのことを検証しました。ひとつは、各選手の選択ごとの得点率が等しくなるはずだということ。もうひとつは、各選手の選択が前後で独立していて、1本ごとに見つかるパターンがないはずだということです。プロ選手は両方の検証に合格しました。これは驚くべきことです。実験室でランダムに選ぶよう頼まれた人は、たいてい失敗するからです。
あなたのじゃんけんにとっての意味
PKから学べるのは「ランダムにしよう」ではありません。もっと具体的なことです。
- 相手に見えるものに対してランダムにする。 プロのキッカーは、見抜けるような交互のパターンや連続をしませんでした。気軽にじゃんけんをする人は、ほぼ必ずしてしまいます。私たちの手のパターンのデータでも、プレーヤーが直前の結果に強く反応していることがわかります。
- 選択肢が不公平なら、混ぜ方も不公平に。 一部のバリエーションのように手が対称でないルールでは、正しい混ぜ方は相手にとってどれを選んでも同じになる混ぜ方で、必ずしも3分の1ずつではありません。
- 突くときは慎重に。 パターンを見つけたら、それを突く方向に寄せましょう。ただし自分が読まれやすくなった瞬間、有利は相手に戻ります。
混合戦略についてはゲーム理論のページでくわしく説明しています。自分がどれだけランダムか、無料でオンライン対戦して試してみてください。
よくある質問
PKのキッカーは本当にランダムに蹴っている？
Chiappori、Levitt、Groseclose（2002年）とPalacios-Huerta（2003年）の研究によると、プロは均衡の混ぜ方にかなり近く、全体として突けるような連続パターンはありません。
PKがじゃんけんに似ているのはなぜ？
どちらも同時に手を選ぶゲームで、読まれやすい選択にはすべて対抗策があるため、安定した戦略は混ぜることになるからです。
PKの最善の戦略は、左右に半分ずつ蹴ること？
いいえ。キッカーは片側のほうが得意なので、最適な混ぜ方は不均等になります。等しくなるべきなのは、選択ごとの成功率です。